高一数学同步练习(必修4第一章三角函数(一)).(教师版)doc.doc

高一数学同步练习必修四　第一章三角函数（一）一、任意角、弧度制及任意角的三角函数A.基础梳理1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(2)终边相同的角 终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．(3)弧度制①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．③弧长公式：l＝|α|r， 扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2.2．任意角的三角函数定义设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r＞0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sin α＝，cos α＝，tan α＝，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．3．三角函数线三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线B.方法与要点1、一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．(2) 终边落在x轴上的角的集合{β|β＝kπ，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为.2、两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|＝r一定是正值．(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．3、三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角．(2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．C.双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是 (　　)．A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)解析　与的终边相同的角可以写成2kπ＋π(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用。

答案　C2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在(　　)．A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限解析　当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角． 答案　A3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是(　　)．A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角解析　由sin α＜0知α是第三、四象限或y轴非正半轴上的角，由tan α＞0知α是第一、三象限角．∴α是第三象限角． 答案　C4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为(　　)．A．－ B. C．－ D．－解析　由三角函数的定义可知，r＝，cos α＝＝－. 答案　A5．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－，则y＝________.解析　根据正弦值为负数且不为－1，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角，∴y＜0，sin θ＝＝－⇒y＝－8. 答案　－8D.考点解析考点一　角的集合表示及象限角的判定【例1】►(1)写出终边在直线y＝x上的角的集合；(2)若角θ的终边与角的终边相同，求在[0,2π)内终边与角的终边相同的角；(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、所在的象限．[审题视点] 利用终边相同的角进行表示及判断．解　(1)在(0，π)内终边在直线y＝x上的角是，∴终边在直线y＝x上的角的集合为(2)∵θ＝＋2kπ(k∈Z)，∴＝＋(k∈Z)．依题意0≤＋＜2π⇒－≤k＜，k∈Z.∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与相同的角为，，.(3)∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z. ∴2k·360°＋180°＜2α＜2k·360°＋360°，k∈Z.∴2α是第三、第四象限角或角的终边在y轴非正半轴上．∵k·180°＋45°＜＜k·180°＋90°，k∈Z，当k＝2m(m∈Z)时，m·360°＋45°＜＜m·360°＋90°；当k＝2m＋1(m∈Z)时， m·360°＋225°＜＜m·360°＋270°； ∴为第一或第三象限角． (1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍．(2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴非正半轴上的角的集合可以表示为，也可以表示为.【训练1】 角α与角β的终边互为反向延长线，则(　　)．A．α＝－β B．α＝180°＋β C．α＝k·360°＋β(k∈Z) D．α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)解析　对于角α与角β的终边互为反向延长线，则α－β＝k·360°±180°(k∈Z)．∴α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)． 答案　D考点二　三角函数的定义【例2】►已知角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sin θ＝ m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．[审题视点] 根据三角函数定义求m，再求cos θ和tan θ.解　由题意得，r＝，∴＝m，∵m≠0， ∴m＝±，故角θ是第二或第三象限角．当m＝时，r＝2，点P的坐标为(－，)，角θ是第二象限角，∴cos θ＝＝＝－， tan θ＝＝＝－.当m＝－时，r＝2，点P的坐标为(－，－)，角θ是第三象限角．∴cos θ＝＝＝－， tan＝＝＝. 任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．若角α已经给出，则无论点P选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的．【训练2】 (2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos θ＝(　　)．A．－ B．－ C.　 D.　 解析　取终边上一点(a,2a)，a≠0，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±，　　答案　D考点三　弧度制的应用【例3】►已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.[审题视点] (1)由已知条件可得△AOB是等边三角形，可得圆心角α的值；(2)利用弧长公式可求得弧长，再利用扇形面积公式可得扇形面积，从而可求弓形的面积．解　(1)由⊙O的半径r＝10＝AB，知△AOB是等边三角形， ∴α＝∠AOB＝60°＝.(2)由(1)可知α＝，r＝10，∴弧长l＝α·r＝×10＝， ∴S扇形＝lr＝××10＝，而S△AOB＝·AB·＝×10×＝， ∴S＝S扇形－S△AOB＝50. 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多．因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式．【训练3】 已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解　设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40，S＝lr＝r(40－2r)＝r(20－r)≤2＝100. 当且仅当r＝20－r，即r＝10时，Smax＝100.∴当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大，即半径为10，圆心角为2弧度时，扇形考点四　三角函数线及其应用【例4】►在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围．并由此写出角α的集合：(1)sin α≥；　(2)cos α≤－.[审题视点] 作出满足sin α＝，cos α＝－的角的终边，然后根据已知条件确定角α终边的范围．解　(1)作直线y＝交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为.(2)作直线x＝－交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为. 利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是：(1)用边界值定出角的终边位置； (2)根据不等式(组)定出角的范围；(3)求交集，找单位圆中公共的部分； (4)写出角的表达式．【训练4】 求下列函数的定义域：(1)y＝；　 (2)y＝lg(3－4sin2x)．解　(1)∵2cos x－1≥0，∴cos x≥.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴定义域为(k∈Z)．(2)∵3－4sin2x＞0，∴sin2x＜，∴－＜sin x＜.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，∴定义域为(k∈Z)．二、　同角三角函数的基本关系与诱导公式A.基础梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1； (2)商数关系：＝tan α. （3）倒数关系：2．诱导公式公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos_α， 其中k∈Z.公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α.公式三：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α. 公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α.公式五：sin＝cos_α，cos＝sin α. 公式六：sin＝cos_α，cos＝－sin_α.诱导公式可概括为k·±α的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．B.方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．（、、三个式子知一可求二）(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan＝….（4）齐次式化切法：已知，则3、三个防范(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负——脱周——化锐． 特别注意函数名称和符号。