《无穷大小》PPT课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,微积分-无穷大量与无穷小量,*,上课,2024/10/16,1,微积分-无穷大量与无穷小量,0|,x,x,0,|0,n,N,正整数,N,时,|u,n,-A|0,时,|f,(,x,),-A|0,|x|X,X,0,x0,x X,d,0,时,|f,(,x,),-A|0,时,|f,(,x,),-A|0,|f,(,x,),-A|0,0,x,0,x,0,|f,(,x,),-A|0,0,x,x,0,0,|f,(,x,),-A|0,2024/10/16,微积分-无穷大量与无穷小量,绝对值无限增大的变量称为,无穷大,(,量,),.,一、无穷大量,1.定义:,记作,:,分析定义:,0|,x,x,0,|0,有,|f,(,x,),|,M,M,0,|,x,|,X,时,X,0,有,|f,(,x,),|,M,M,0,2.3,无穷大量与无穷小量,f,(,x,),在,X,上无界,比较,:,2024/10/16,3,微积分-无穷大量与无穷小量,3.,单说变量是无穷大量是无意义的，要指明自变量的变化过程注意,1.无穷大量是变量,不能与很大的数混淆;,4.,无穷大量是无界变量,但无界变量未必是无穷大量.,当,n,是无界变量,但不是无穷大量,;,例,:,f,(,x,),x,sin,x,当,x,是无界变量,但不是无穷大量,.,2024/10/16,4,微积分-无穷大量与无穷小量,2024/10/16,5,微积分-无穷大量与无穷小量,2.,正无穷大、负无穷大:,注：正,(,负,),无穷大不可笼统地写作无穷大;,例,:,2024/10/16,6,微积分-无穷大量与无穷小量,图示：,2024/10/16,7,微积分-无穷大量与无穷小量,1.定义:,极限为零的变量称为,无穷小,(,量,),.,记作,:,二、无穷小量,分析定义:,0|,x,x,0,|0,有,|f,(,x,),|0,X,0,时,有,|f,(,x,),|0,|x|X,2024/10/16,8,微积分-无穷大量与无穷小量,例如,注意,1.无穷小量是变量,不能与很小的数混淆;,2.零是可以作为无穷小量的唯一的数；,3.,单说变量是无穷小量是无意义的，要指明自变量的变化过程。

e,x,当,时是无穷小量,;ln,x,当,时是无穷小量,.,x,-,x,1,2024/10/16,9,微积分-无穷大量与无穷小量,2.,变量极限与无穷小量的关系:,证,仅对,x,x,0,的情形证明f,(,x,)-,A,|,e,0|,x,-,x,0,|,d,时,|,(,x,)|,e,0|,x,-,x,0,|,d,时,即,|,f,(,x,)-,A,|,e,定理,2024/10/16,10,微积分-无穷大量与无穷小量,3.,无穷小的运算性质:,(1),有限个,无穷小量的代数和仍为无穷小量.,证,注意,无穷多个,无穷小的代数和未必是无穷小.,X,1,时,有,|,|X,2,时,有,|,|,.,2024/10/16,11,微积分-无穷大量与无穷小量,(3),无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量.,证,(2),有限个,无穷小的乘积仍为无穷小量.,0|,x,x,0,|,d,2,时,|,(,x,)|,e.,推论 常数与无穷小的乘积是无穷小.,例如,:,0,.,？,?,0,结论？,思考,!,2024/10/16,13,微积分-无穷大量与无穷小量,4.,无穷小量阶的比较,例如,极限不同,反映了它们趋近于零的“快慢”程度不同.,两个无穷小量的和、差、积仍为无穷小量。

商呢,?,=,0,=,3,=,1,无穷小量的商未必是无穷小量2024/10/16,14,微积分-无穷大量与无穷小量,定义,:,例,注：常数零是比任何其它无穷小量更高阶的无穷小量后面我们会利用等价无穷小量简化某些极限的计算,),2024/10/16,15,微积分-无穷大量与无穷小量,定理 在同一过程中,无穷大量的倒数为无穷小量;,恒不为零,的无穷小量的倒数为无穷大量,.,证,三、无穷大量与无穷小量之间的关系,意义,:,关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.,2024/10/16,16,微积分-无穷大量与无穷小量,当,时是无穷大量,;,当,时是无穷小量,.,当,时是无穷大量,;,当,时是无穷小量,.,x,1,或,x,2,x,x,x,+,练习,:,无穷大,:,ln(2,x,),记作,ln,t,为无穷小,t,2,x,1,无穷小,:,ln(2,x,),记作,ln,t,为无穷大,t,2,x,+,x,或,x,2,x,1,或,t,2,x,0,2024/10/16,17,微积分-无穷大量与无穷小量,试说出下列极限的数学定义：,P67 7(6),2024/10/16,18,微积分-无穷大量与无穷小量,解答,1.,不能保证.,例,2.,未必,例,不存在且不为无穷大,思考题,:,2.,任何两个无穷小量都可以比较阶的高低吗？,故当,x,0,时,无穷小 与,x,不可以比较阶的高低,2024/10/16,19,微积分-无穷大量与无穷小量,小结,1,.,主要内容:,三个定义;两个定理;四个性质,;,一个推论.,2,.,几点注意:,无穷小量与无穷大量是相对于过程而言的.,(1),无穷小,(,大,),量是变量,不能与很小,(,大,),的数混淆,零是唯一的无穷小的数；,(2),无穷多个无穷小的代数和,(,乘积,),未必是无穷小,;,(3),无界变量未必是无穷大量,.,3.无穷小量的比较:,反映了同一过程中,两个无穷小量趋于零的速度快慢.,高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.,2024/10/16,20,微积分-无穷大量与无穷小量,作业：,P67 8(2)(3)(4)(5)(6),9(2)(3)(4)(5),12,做在书上,2024/10/16,21,微积分-无穷大量与无穷小量,下 课,2024/10/16,22,微积分-无穷大量与无穷小量,。