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          数学猜想的方法及应用                    吴疆摘要：本文探讨了数学猜想的概念、方法以及在教学活动中的应用关键词：数学猜想；应用；类比在使用新课程标准北京师范大学版数学实验教材的教学实践中，本人注意到了教材的一个特点：探索性要求教师组织学生对各种数学现象开展观察、实验、猜想、验证、推理、交流等数学活动，引导学生进行猜想、归纳，从而发现规律，主动获取新知，使学生在获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展本人认为其中重要的一个环节就是数学猜想一、数学猜想的概念1.什么是数学猜想？猜想是对研究的对象或问题进行观察、分析、比较、类比、归纳等，依据已有的材料和知识做出符合一定的经验与事实的推测性想象的思维方法人们认识事物是一个复杂的过程，往往需要经历若干阶段才逐渐从现象认识到事物的本质开始只能根据已有的部分事实及结果，运用某种判断推理的思维方法，对某类事实和规律提出一种推测性的看法，这种推测性的看法就是猜想猜想是人们依据事实、凭借直觉所做出的合情推测，是一种创造性的思维活动，具有真实性、探索性、灵活性和创造性等基本特点在数学中，任何一个定理，只要不是其他数学定理的直接推论，就可以经过猜想而建立起来。

猜想有一定的事实依据，包含着以事实作为基础的可贵的想象成分一个猜想越大胆，它所包含的想象成分就越多数学猜想就是依据某些已知事实和数学知识，对未知量及其关系所出的一种推断，是数学中的合情推理波利亚指出：数学中有“论证推理和合情推理”两种推理，它们是思维的两种形式、两个方面，它们之间并不矛盾，在数学的发现和发明过程中起交互作用在严格的推理之中，首要的事情是区别证明与推测，区别正确的论证与不正确的尝试；而在合情推理中，要区别理由较多的推测与理由较少的推测所以说，数学猜想是合情的推理，而不是不合理的乱猜2.数学猜想实现途径猜想大致可分为如下几种形式：①类比性猜想；②归纳性猜想；③对称性猜想；④仿造性猜想；⑤逆向性猜想实现猜想的途径，可以是探索试验、类比、归纳、构造、联想、审美以及它们之间的组合等数学猜想是有一定规律的，如类比的规律、归纳的规律等，并且要以数学知识和经验为支柱在证明一个数学问题之前，应猜想这个问题的内容；在完全做出详细证明之前，应先得猜想证明的思路二、数学猜想的方法1.运用不完全归纳法进行猜想这种猜想是对研究对象或问题从一定的数量进行观察、分析，从而得出有关命题或结论、方法归纳推理是针对一类事物而言的。

一类事物A中的部分个体A1、A2、…An都具有性质P，那么A中的全部个体是否都具有性质P呢？这就是一个归纳猜想的思维过程例如哥德巴赫在数学研究中观察到的:3+7=10,3+17=20,13+17=30…在形式上可以写成10=3+7，20=3+17，30=13+17…观察可发现：3，7，13，17都是素数，可见10，20，30，这三个偶数都可以表示为两素数之和于是他产生了这样的一个想法：其它的偶数是否也具有这样的规律呢？他还进行了一些特例验证：6=3+3，8=3+5，12=5+7，14=3+11于是他提出猜想：每一个大于4的偶数都等于两个偶数之和这个猜想提出的过程就是运用了由部分到整体、由个别到一般的不完全归纳推理过程数学中常见的归纳有：解线性方程组时，由二元方程组的解法推广到三元方程组再推广到多元方程组的解法；在统计学中，由一部分数据的特征去估计总体数据的相应特征；在向量中，由平面向量推广到空间向量再推广到向量空间解决这类数学问题时,常用不完全归纳法可以作出一个合理的猜想,再设法加以证明或反驳2.运用类比法进行猜想这种猜想是通过比较两个对象或问题的相似性得出数学命题的猜想在A和B两类事物中，A有性质P成立，B也有性质成立，A类中还有性质Q成立，B类中是否也有性质成立呢？这是一个类比猜想的思维过程。

例如，已知命题“三角形三条中线交于一点，且这一点是三角形的内切圆的圆心”得出猜想命题：“四面体的六个二面角平分面交于一点，且这一点是四面体内切球的球心”在求解或者证明某一命题时，往往可以联想它的类比问题从而猜想解题的问题的方向和途径数学中常见的类比有：球面几何与平面几何的类比，指数函数与对数函数的类比，等式与不等式的类比，有理数与无理数的类比，等差数列与等比数列的类比，3.运用对称的思想进行猜想这种方法是对研究的对象或问题，运用简单性、对称性、相似性、和谐性、奇异性等，结合已有的知识和经验所作出的知觉性猜想例如，困难的问题可能存在着简单的解答；对称的条件可能存在对称的结论以及可能会用对称变换的方法加以解决；和谐的或奇异的构思有助于问题的明朗化或简单化就是因为使用了对称的思想4.运用仿照的思想进行猜想这种方法是运用现有的公式、定理，或是进一步限制条件，或是得出更一般结论，从而使定理得到延展和拓宽5.运用逆向思维进行猜想在解决某些数学问题时沿一种固定思路可能难以达到效果，沿相反方向进行思考，可提出新的猜想十九世纪，数学家高斯、罗巴切夫斯基利用逆向思维,猜想到第五公理不能由其它公理或公设推出，因而可以用相反的命题代替,这样就导致非欧几何平行公理的提出和非欧几何的诞生。

三、数学猜想的应用在教学实践中我们可以引导学生大胆地猜想，使学生在学好知识的同时，激发潜力，发展能力，教学中鼓励学生猜想有着很重要的意义首先,有利于激发学生的学习兴趣和增强学习动力兴趣是学习的最好老师，调动学生的学习积极性是每一位教师必须做到的如在教授等差数列求和公式时，不是直接把定理的内容告诉学生，而是让学生每人先计算1+2+3+…+100的和，直接计算并不简便，学生注意到各加数依次成等差数列，马上“猜出”出或许应该有一个计算公式这个和，于是迫不及待地想知道下文，这时教师就可以作必要的讲解，从而引出倒序相加法这样做避免了枯燥地把知识介绍给学生，还可以让学生觉得数学学习是一件很有趣的事长期这样训练，学生就在不自觉中喜欢学习数学，学习的动力就会提高其次，有利于更为透彻地理解和掌握数学知识数学的特点是严谨、逻辑性强，学生在学习时往往只注重了知识的表层，或者去死记知识，这样在运用知识时就会出现“我知道这个内容，但就是不会用它来解题”这样的问题，所以在教学中，教师必须想方设法地让学生理解所学知识，并掌握这些知识数学课本中的很多定理和方法，并不是由纯逻辑的演绎推理得到的绝大多数是由为数不多的特例，通过观察、归纳、猜想，最后才是给出证明。

教师在讲授这些结论时，不要先把结论抛给学生，可同学生一起参与归纳猜想反之，如果教师直接将这些结论抛给学生，学生就会感到很突然，而通过归纳猜想得出结论就显的很自然当然这样的猜想，还要引导学生验证例如在讲解圆与圆的位置关系时，教师可以给大家演示两个圆由远到近的移动过程，让学生观察它们位置的变化，由此猜想出它们大概有几种位置，然后让大家讨论各自猜想的依据，他们很快就会得出：位置是由交点个数决定的，没有交点时是相离、一个交点时是相切、二个交点时是相交然后教师继续启发：交点相同时有没有不同之处，怎么样区分？学生很快就会得出：不同点主要是除交点外，大圆和小圆分开还是包含那么相离又可以分为外离和内含、相切可以分为外切和内切虽然叙述的语言并不十分准确，但圆与圆的五种位置关系给出的非常清楚，学生理解的也更为透彻最后，有利于更快捷地寻找解题思路数学猜想是数学认识过程中不可缺少的一环节，是数学思维的基本要素，归纳和类比是两种主要表现形式数学史上的许多重要成就都是借助于数学猜想获得的，各种数学新观念的产生，都或多或少有他们的作用演绎推理是证明数学结论、表现数学体系的重要形式，但从数学发现过程和数学研究方法的角度看，数学与自然科学一样又是归纳的科学。

中学数学教学应使学生认识到数学既是演绎的科学，又是归纳的科学数学教学不单单是重现现有的结论和结论的证明过程，问题和结论的发现过程也是重要内容在教学实践中应有意识地关注学生的学习过程，关注学生个性与潜能的发展，有利于培养学生的创新精神参考文献：[1]张饴慈，李延林，王尚志.普通高中课程标准试验教科书·数学·选修2-2[S].北京：北京师范大学出版社，2008.[2]波里亚.数学与猜想[M].北京：科学出版社，1984.作者单位：陕西省咸阳中学邮政编码：712000OntheMethodsandApplicationofMathematicHypothesisWuJiangAbstract:Thispaperdiscussestheconcept,methodsandapplicationofmathematicshypothesisinteachingactivities.Keywords:mathematicshypothesis;application;analogy  -全文完-。