隐圆模型---定点定长【模型专题】（含答案解析）.docx

隐圆模型定点定长【模型讲解】平面内，点刀为定点，点B为动点，且长度固定，则点B的轨迹在以点力为圆心，刀B长为半径的圆上（如图①）.依据的是圆的定义：圆是所有到定点的距离等于定长的点的集合.（图①）推广：如图②，点E为定点、,点尸为线段8上的动点（不含点8）,将时沿 时折叠得到AH'时，则点尹 的运动轨迹为以点已为圆心，以线段如为半径的一段圆弧.A C【例题1】1. 如图，已知C=3,点力、8分别是平面内的动点，且CM=2, BC=4,请在平 面内画出点力、8的运动轨迹.【答案】见解析【解析】【分析】分别以0、C为圆心，OA. 8C为半径作圆即可得.【详解】如解图，点A的运动轨迹为点3的运动轨迹为G）C.【点睛】本题考查圆的定义，掌握由圆的定义进行作图是解题的关键.【变式】2. 如图，已知的半径为3,圆外一点口5,点P为C上一动点，经过点的直线/上有两点刀口6,且OA\JOB\JZAPBn90oQl不经过点C,则刀3的最小值为 □【答案】4口【解析】【详解】解：如图，连接口户C,贝U有P>OCUPC. 当三点共线时，op=ocnpcnZAPB=9QOQOA=OBU.•.点P在以4B为直径的圆上，与（DC相切时，。

尸取到最小值.设与③c的切点为P,则opr=ocncpr=2\j:.it 匕时刀 8=2OP'=4.故答案为4口【变式】3. 如图，在边长为2的菱形如CZ）中，匕4 = 60M是00边的中点，N是AB边上的一动点，将沿枷所在直线翻折得到MN,连接刀’ C,则Af C长度的最小值是 ・【答案】V7 - 1.【解析】【分析】根据题意，在N的运动过程中在以"为圆心、AD为直径的圆上的弧 ，上运动，当/ C取最小值时，由两点之间线段最短知此时A/、A' > C三点共 线，得出力'的位置，进而利用锐角三角函数关系求出的长即可.•.•MA'是定值，A' C长度取最小值时，即A'在MC上时, 过点M作MF±DC于点F,..•在边长为2的菱形ABCD中，ZA=60° , M为AD中点，..•2MD=AD = CD=2, ZFDM = 60° ,AZFMD = 30° ,AFD=-MD= —,2 2•.•FM = DMXcos30—2•••MC= 4fm2+cf2 = V7， ..•A' C = MC - MA' = V7 - 1.【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A'点位 置是解题关键.【变式】4.如图，已知四边形ABCD是矩形，BC=4, AB>2,若CE=2,且点E在矩形♦BCD的内部，求ZABE的取值范围.【答案】60° < ZABE v 90°【分析】【详解】【解析】以。

为圆心，CE为半径作弧，由此得出匕伽的取值范围.如图所示，以为圆心，CE为半径作弧, 当既与OC相切时，ZCBE最大，即匕娅最小，此时ZCEB = 90°,/.ZCBE = 30°,・・・ZABE = 90・.•点E在矩形ABCD内，A ZABE< 90°,/.60°/3，・•・BH =6+后,SmcB，的最大值为sx8x(6 + >/^) = 4\行 + 24 .【点睛】本题考查圆与三角形综合问题，根据题意构造出图形是解题的关键.变式】6. 如图1,在DABC中，D、E、F分别为三边的中点，G点在边AB上，DBDG 与四边形ACDG的周长相等，设BC=a、AC=b、AB=c.(1) 求线段BG的长;(2) 求证：DG平分IZEDF;若口BDG与LDFG相似，求证：BG0CG.(3)连接CG,如图2,h + c【答案⑵【解析】【分析】(1)由nBDG与四边形ACDG的周长相等与D、E、F分别为三边的中点，AR -4- AC h+c*易得 BG=AC+AG,又由 BG=AB-AG 即可得 BG= =1 .2 2(2) 由点D、F分别是BC、AB的中点，利用三角形中位线的性质，易得 DF=FG,又由 DEDAB,艮P pT^^nFDG=nEDG.(3) 由口BDG与口DFG相似和(2)得DG=BD=CD,可得B、G、C三点在以BC 为直径的圆周上，由圆周角定理，即可得BGOC.【详解】(1) DD. C、F分别是口ABC三边中点，□DE// - AB, DF// - AC. =2 = 2XnDBDG 与四边形 ACDG 周长相等，即 BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG,□BG=AC+AG.□BG=AB—AG,AB + ACb+c匚 BG= 二•22(2)证明:BG=宇，FG=BG—BF=*—拦,□FG=DF.□ □FDG=DFGD.XDDEDAB,□ □EDGTFGD.□ □FDGTEDG.□DG 平分口EDF.(3)在匚DFG 中，□FDG=DFGD, 匚ZIDFG是等腰三角形.□ □BDG-^nDFG 相彳以，□ □BDG是等腰三角形.□□B=OBGD.□BD=DG・□CD=BD=DG・□B、G、C三点共圆.□ □BGC=90。