新八校2026-2027学年高三上学期8月联考+数学答案Word版.docx

高三数学试卷一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 A = {−1, −2, 1, 5}，B = {x ∣ y = lg(x + 2)}，则 A ∩ B =（）A. {−1, −2, 1, 5} B. {−1, 1, 5}C. {1, 5} D. ∅【答案】B【详解】由题意得，集合 B = {x ∣ x > −2}.因为 −2 ∉ B，−1 ∈ B，1 ∈ B，5 ∈ B，所以 A ∩ B = {−1, 1, 5}.故选 B.22. 若复数 z = ( 1 − i)(a + i)（a ∈ 𝐑）为纯虚数，则 a =（）A. −5 B. −4 C. −3 D. −2【答案】D【详解】展开复数 z 得z = 1 a + 1 i − ai − i2 = ( 1 a + 1) + ( 1 − a) i.因为 z 为纯虚数，所以2 2 2 2⎨{ −⎧{ 1 a + 1 = 0,解得 a = −2.故选 D.2⎩≠.1 a 0223. 在长方形 ABCD 中，AM = 1 AB，AC 与 DM 交于点 N，则 MN =（）1 1 2 1A. 3 AD − 6 AB B. 3 AD − 3 AB1 1 1 1C. 2 AD − 2 AB D. 3 AD − 4 AB【答案】A【详解】在长方形 ABCD 中，AB ∥ CD 且 CD = AB.22因为 AM = 1 AB，所以 AM ∥ CD 且 AM = 1 CD.因此 △AMN ∼ △CDN，相似比为 MNAM 13所以 MN = 1 MD.DN = CD = 2 .2又因为 MD = AD − AM = AD − 1 AB，所以MN = 1 (AD − 1 AB) = 1 AD − 1 AB.3 2 3 6故选 A.4. 已知圆锥的侧面积为 2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积是（）A. πB. √2 π C. √3 π D. π2 2 3【答案】C【详解】设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，高为 h.因为圆锥的侧面展开图为半圆，其圆心角为 π，所以展开图弧长等于底面周长，即πl = 2πr ⟹ l = 2r.又圆锥的侧面积为解得 r = 1，l = 2.圆锥的高为故圆锥的体积为S侧 = πrl = 2πr2 = 2π.h = √l2 − r2 = √22 − 12 = √3.V = 1 πr2h = 1 π × 12 × √3 = √3 π.3 3 3故选 C.5. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排照相，则甲与乙相邻的概率为（）A. 12【答案】D【详解】B. 35C. 34D. 25五名同学全排列的基本事件总数为n = A5 = 120.5利用捆绑法，将甲、乙视作一个整体，内部排列有 A2 种方式，该整体与其余三人共 4 个元素全排列有 A4种方式，故甲与乙相邻的事件数为2 4m = A2A4 = 2 × 24 = 48.2 4所求概率为P = 48 = 2 .120 5故选 D.a2b26. 已知椭圆 C ∶ x2 + y2 = 1（a > b > 0）与抛物线 E ∶ y2 = 2px（p > 0）有相同的焦点 F，椭圆 C 与抛物线E 在第一象限交于点 P，PF ⟂ x 轴，则椭圆 C 的离心率等于（）A. √2– √2C. 1 22【答案】B【详解】B. √2 − 1D. √2 − 122由题意，抛物线 E 的焦点为 F(c, 0)，则 p = c ⟹ p = 2c.抛物线方程为 y2 = 4cx.因为 PF ⟂ x 轴且点 P 在第一象限，所以点 P 的横坐标为 c.将 x = c 代入抛物线方程得 y2 = 4c2，故 yP = 2c.a又点 P(c, 2c) 在椭圆 C 上，且椭圆过焦点的通径半长为 b2 ，因此ab2 = 2c.由 b2 = a2 − c2 代入得a两边同除以 a2 并设离心率 e = c ∈ (0, 1)，得a2 − c2 = 2ac.1 − e2 = 2e ⟹ e2 + 2e − 1 = 0.解得 e = √2 − 1（负根 −1 − √2 已舍去）.故选 B.7. 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，则“sin2 A + cos2 B + sin2 C > 1”是“△ABC 是锐角三角形”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【详解】因为 cos2 B = 1 − sin2 B，所以sin2 A + cos2 B + sin2 C > 1 ⟺ sin2 A + sin2 C > sin2 B.由正弦定理 a = b = c = 2R，不等式等价于sin Asin Bsin Ca2 + c2 > b2.由余弦定理 b2 = a2 + c2 − 2ac cos B 可得2a2 + c2 − b2 = 2ac cos B > 0 ⟺ cos B > 0 ⟺ 0 < B < π.即条件等价于“角 B 为锐角”.若△ABC 是锐角三角形，则角 A、B、C 均为锐角，必有角 B 为锐角，必要性成立；若角 B 为锐角，角 A 或角 C 可以为钝角（例如 A = 120∘，B = 30∘，C = 30∘），此时 △ABC 不是锐角三角形，充分性不成立.故“sin2 A + cos2 B + sin2 C > 1”是“△ABC 是锐角三角形”的必要不充分条件.故选 B.8. 设函数 f(x) 的定义域为 𝐑，f(x + 1) 为奇函数，f(x + 2) 为偶函数，当 x ∈ [0, 1] 时，f(x) = ax + b（a > 0且 a ≠ 1），若 f(0) + f(3) = −1，则 f(log2 18) =（）––A. 98【答案】C【详解】B. 32C. 78D. 52因为 f(x + 1) 为奇函数，所以 f(−x + 1) = −f(x + 1)，即函数 f(x) 关于点(1, 0) 中心对称，从而 f(1) = 0.因为 f(x + 2) 为偶函数，所以 f(−x + 2) = f(x + 2)，即函数 f(x) 关于直线 x = 2 轴对称.由此可得f(x + 4) = f(2 + (x + 2)) = f(2 − (x + 2)) = f(−x) = −f(x + 2) = −f(2 − x) = f(x).即 f(x) 是周期为 4 的周期函数.同时由对称性可知 f(3) = f(2 + 1) = f(2 − 1) = f(1) = 0.由已知 f(0) + f(3) = −1，得 f(0) = −1.当 x ∈ [0, 1] 时，f(x) = ax + b，代入 x = 0 与 x = 1：⎨⎧{f(0) = 1 + b = −1,{⎩f(1) = a + b = 0.解得 b = −2，a = 2，满足 a > 0 且 a ≠ 1.故当 x ∈ [0, 1] 时，f(x) = 2x − 2.因为 4 < log2 18 < 5，由周期性得f(log 18) = f(log18 − 4) = f (log18 ) = f (log 9 ) .2 28由于 0 < log2 9 < 1，直接代入解析式得2 16 2 8f log 18) = 2log 9 − 2 = 9 − 2 = − 7 .故选 C.( 2 2 8 8 8二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.9. 已知圆 C ∶ x2 + y2 − 6x + 4y − 12 = 0，直线 l ∶ mx + y − 2m − 1 = 0（m ∈ 𝐑），下列选项正确的有（）A. 圆 C 的圆心坐标为 (3, −2)，半径为 5B. 直线 l 恒过定点 (2, 1)C. 当 m = 1 时，直线 l 与圆 C 相离 √D. 直线 l 被圆 C 截得的弦长最小值为 2【答案】ABD【详解】对于 A：圆 C 方程配方整理得15(x − 3)2 + (y + 2)2 = 25.圆心为 (3, −2)，半径 R = 5，故 A 正确；对于 B：直线 l 方程变形为m(x − 2) + (y − 1) = 0.令 x − 2 = 0 且 y − 1 = 0，解得 x = 2，y = 1，故直线恒过定点 P(2, 1)，故 B 正确；对于 C：定点 P(2, 1) 到圆心 C(3, −2) 的距离为 |PC| = √(2 − 3)2 + (1 − (−2))2 = √1 + 9 = √10 < 5.定点 P 在圆 C 内部，故对任意 m ∈ 𝐑，直线 l 与圆 C 恒相交，故 C 错误；对于 D：当直线 l ⟂ PC 时，直线被圆截得的弦长最短，最小弦长为 2√R2 − |PC|2 = 2√25 − 10 = 2√15.故 D 正确.故选 ABD.10. 已知等差数列{an} 的首项为 a1，公差为 d，前 n 项和为 Sn，若 S11 > S13 > S14，则下列结论正确的有（）A. a1 > 0，d < 0 B. 当 n = 14 时，Sn 最小C. 使得 Sn > 0 成立的最小自然数 n = 28 D. |a13 + a14| < |a15 + a16|【答案】AD【详解】由 S13 − S11 = a12 + a13 < 0 以及 S14 − S13 = a14 < 0 可知，数列后项取负值.由 a14 < 0 且公差 d < 0，可得 a1 > 0.对于 A：因为 d < 0，a1 > 0，故 A 正确；对于 B：由于 d < 0，当 n 充分大时 Sn → −∞，Sn 不存在最小值，故 B 错误；对于 C：若 a12 + a13 < 0，前 n 项和在正数项求和后递减并变为负数，Sn > 0 对应的为最大项数而非最小自然数，故 C 错误；对于 D：因为 d < 0 且当 n ≥ 13 时 an < 0，所以a15 + a16 < a13 + a14 < 0.两边取绝对值必有 |a13 + a14| < |a15 + a16|，故 D 正确.故选 AD.11. 已知抛物线 C ∶ y2 = 8x，焦点为 F，过 F 的动直线 l 交抛物线于 A、B 两点，则下列结论正确的有（）A. 抛物线 C 的准线方程是 x = −2B. |AF| + |BF| 的最小值是 8。