信号与系统 拉普拉斯变换的基本性质讲解.ppt

信号与系统 § § 5.35.3 拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本性质 信号与系统 主要内容 线性 延时（时域平移） 尺度变换 s域平移 原函数积分原函数微分 对s域微分 对s域积分 初值终值 时域卷积 信号与系统 基本要求基本要求 对下列性质的熟练掌握（数学描述，应用） 延时性质 尺度变换 对时间函数的微分、积分 初值、终值性质 时域卷积 信号与系统 一．线性性质 解： 例：已知 求 的拉普拉斯变换 说明：前面求正余弦信号的拉普拉斯变换时已经用到了线性性 若 为常数 则 信号与系统 二．延时（时域平移） 证明： 若 则 信号与系统 二．延时（时域平移） 注意： (1)一定是 的形式的信号才能用时移性质 (2)信号一定是右移 (3)表达式 等 所表示的信号不能用时移性质 信号与系统 例：已知 求 因为 所以 解： 二．延时（时域平移） 信号与系统 解：4种信号的波形如图 例：已知单位斜变信号 的拉普拉斯变换为 求 的拉普拉斯变换 二．延时（时域平移） 信号与系统 只有信号 可以用延时性质 二．延时（时域平移） 信号与系统 解： 例 二．延时（时域平移） 不能采用时延性质计算 信号与系统 二．延时（时域平移） 时移性质的一个重要应用是求单边周期信号的拉普拉斯变换。

结论：单边周期信号的拉普拉斯变换 等于第一周期波形的拉普拉斯变换乘以 信号与系统 信号与系统 求图所示单边周期矩形脉冲序列的拉普拉斯变换 第一个周期的信号为 所以 信号与系统 三．尺度变换 时移和尺度变换都有: 证明： 若 则 信号与系统 四．s 域平移 证明： 若 则 例：求 的拉氏变换 解： 信号与系统 五．时域微分定理 推广： 证明： 若 则 信号与系统 六．时域积分定理 证明： ①② ① ② 若 则 1、因为第一项与 t 无关，是一个常数 2、如果 f ( t )是一个因果信号，则这一 项为0 信号与系统 例：求图示信号的拉普拉斯变换 求导得 所以 解： 六．时域积分定理 信号与系统 若 则 取正整数 七．s 域微分定理 证明：对拉普拉斯正变换定义式 求导得 即得证 信号与系统 七．s 域微分定理 例 解：因为 所以 信号与系统 八．s 域积分定理 两边对 s 积分： 交换积分次序: 证明： 若 则 信号与系统 若 拉氏变换存在，且 九．初值定理和终值定理 终值存在的条件: 若 的拉氏变换存在，且 则 初值定理 的所有极点有负实部 终值定理 初值定理应用的条件: f (t)不包含冲激信号及其各阶导数项 则 信号与系统 由时域微分定理可知 所以 九．初值定理和终值定理 初值定理证明： 所以 信号与系统 终值定理证明 根据初值定理证明时得到的公式 九．初值定理和终值定理 信号与系统 例：确定下列拉普拉斯变换所对应的时域因果信号的初值和终值 初值 终值 初值 终值 注意应用终值定理的条件是满足的。

解： 九．初值定理和终值定理 信号与系统 初值 因为 有两重极点 ，并不具有负实部 ，因此不能应用终值定理，即 的终值不存在 九．初值定理和终值定理 例： 解： 即单位阶跃信 号的初始值为1 信号与系统 十．时域卷积 若 为因果信号 则 证明： 交换积分次序 信号与系统 作业(13-06-08) P181 5-3（2）、（4）、（6）、（8） 5-4 （1）、（3） 5-5 （a) 5-6 （3）、（5） 。