插值法与曲线拟合0916.ppt
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简明数值计算方法简明数值计算方法漳州师范学院计算机科学与工程系漳州师范学院计算机科学与工程系第二讲 插值法与曲线拟合 主要内容主要内容n插值法插值法u拉格朗日插值拉格朗日插值u差商与差分差商与差分u牛顿插值公式牛顿插值公式u逐次线性插值法逐次线性插值法u三次样条插值三次样条插值 n曲线拟合曲线拟合u曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法 2.1 插值法插值法n在实际问题中，我们会遇到两种情况在实际问题中，我们会遇到两种情况u变量间存在函数关系，但只能给出一离散点列上的值变量间存在函数关系，但只能给出一离散点列上的值 例如例如 : 从实验中得到一个数据表从实验中得到一个数据表,或是一组观测数据或是一组观测数据u变量间的函数关系可以表示变量间的函数关系可以表示,但计算复杂但计算复杂,只能计算特殊点的函数值只能计算特殊点的函数值 例如例如 : 求指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数值等求指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数值等n为了研究自变量与因变量间的变化关系，我们需要建立变为了研究自变量与因变量间的变化关系，我们需要建立变量间的函数关系，从而可以计算原始数据以外需要处的值，量间的函数关系，从而可以计算原始数据以外需要处的值，这就是我们研究插值的目的。
这就是我们研究插值的目的® 2.1 插值法插值法设函数设函数 在区间在区间 上有定义上有定义, ,已知在点已知在点 上的函上的函数值数值 , , , , 即即 插值问题插值问题: 求一个简单函数 求一个简单函数 使得使得插值条件插值条件插值函数插值函数插值节点插值节点如果是多如果是多项式项式,则则称为插值称为插值多项式多项式求插值函求插值函数的方法数的方法称为插法称为插法…………[a,b]称称为插值区为插值区间间如何构如何构造造P(x)???® 2.1 插值法插值法设函数设函数 在区间在区间 上有定义上有定义, ,已知在点已知在点 上的函上的函数值数值 , , , , 即即 。
nkyxPkk,...,2 , 1 , 0,)(==是否存在多项式是否存在多项式 使得使得当当n=0时时,只有一个只有一个插值节点的情形插值节点的情形当当n=1时时, 有两个插有两个插值节点的情形值节点的情形当当n=2时时, 有三个插有三个插值节点的情形值节点的情形插值多项式的存在唯一定理：在次数不超过插值多项式的存在唯一定理：在次数不超过 n n 的多项式集合的多项式集合 中，满足中，满足插值条件的插值多项式插值条件的插值多项式 是是存在并且唯一的存在并且唯一的是否任意给是否任意给定定n+1个不个不同的插值同的插值 节节点都可以构点都可以构造出满足插造出满足插值条件的插值条件的插值多项式值多项式??® 2.1 插值法插值法n例例1: 给定数据表如下给定数据表如下 (1) 用一次插值多项式计算用一次插值多项式计算 f(0.7) 的近似值的近似值 (2) 用二次插值多项式计算用二次插值多项式计算 f(0.7) 的近似值的近似值 (3) 用三次插值多项式计算用三次插值多项式计算 f(0.7) 的近似值的近似值x0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2f (x)21 25 23 20 21 24求三次插值多求三次插值多项式要解一个项式要解一个四阶线性方程四阶线性方程组组,计算量大计算量大太了太了,有没有有没有更简便的办法更简便的办法???® 2.1 插值法插值法n拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值多项式插值多项式例例2: 数据如例数据如例1,应用拉格朗日多项式重新计算应用拉格朗日多项式重新计算(1)(2)(3)拉格朗日插值的优缺点拉格朗日插值的优缺点: : 公式结构紧凑公式结构紧凑, ,在理论分析中方便在理论分析中方便, ,但如遇节点增减但如遇节点增减, ,所有数据需全部重算所有数据需全部重算® 2.1 插值法插值法n牛顿牛顿(Newton)插值多项式插值多项式u记函数记函数 在在 的值的值 ，称，称 为为 关于关于 的的零阶差商零阶差商。
u称称 为函数为函数 关于点关于点 的的一阶差商一阶差商u一般地，一般地， 关于关于 的的 k阶差商阶差商 为为® 2.1 插值法插值法n差商表差商表一阶均差一阶均差二阶均差二阶均差三阶均差三阶均差四阶均差四阶均差例例3: 数据如例数据如例1 写出差商表写出差商表,应用牛顿插值多项式重新计算应用牛顿插值多项式重新计算(1)(2)(3)® 2.1 插值法插值法n设函数设函数 在等距节点在等距节点 上的值上的值 为已知，这里为已知，这里 为常数，称为为常数，称为步长步长n在前面的讨论中，节点是任意分布的，但实际上经常遇到在前面的讨论中，节点是任意分布的，但实际上经常遇到等距节点的情况，这时插值公式可以得到简化。
等距节点的情况，这时插值公式可以得到简化® 2.1 插值法插值法n差分的定义差分的定义 称为在称为在 处以处以 为步长的为步长的向前差分向前差分 称为在称为在 处以处以 为步长的为步长的向后差分向后差分 称为在称为在 处以处以 为步长的为步长的中心差分中心差分n下面以向前差分为例下面以向前差分为例,向后差分和中心差分的情形相似向后差分和中心差分的情形相似n用一阶差分可以定义用一阶差分可以定义二阶差分二阶差分n一般地可定义一般地可定义 m 阶差分阶差分为为® 2.1 插值法插值法n差分表差分表牛顿向前差分插值公式牛顿向前差分插值公式例例4: 数据如例数据如例1 写出差分表写出差分表,应用上式重新计算应用上式重新计算(1)(2)(3)® 2.1 插值法插值法n高次插值的病态性质高次插值的病态性质 对于一个确定的区间对于一个确定的区间,插值节点越多插值节点越多, 插值多项式的次数越高插值插值多项式的次数越高插值 。
20世纪初，世纪初，Runge(龙格龙格)就给出了一个等距节点插值多项式就给出了一个等距节点插值多项式 不不收敛到收敛到 的例子n设设 ，在区间，在区间 上取上取 个等距节点个等距节点,构造拉格构造拉格朗日插值多项式为朗日插值多项式为 其中其中® 2.1 插值法插值法n龙格现象龙格现象如何避免高如何避免高次插值的病次插值的病态问题态问题???®一种可行的办法是采取一种可行的办法是采取分段低次插值分段低次插值 2.1 插值法插值法n分段线性插值分段线性插值: 从几何上看，就是用折线逼近曲线从几何上看，就是用折线逼近曲线n设设 是区间是区间 上的函数，在节点 上的函数，在节点 上的函数值为上的函数值为 ，， 记记 则则 的分段线性插值函数的分段线性插值函数 定义为 定义为: 在区间 在区间 上上 显然有显然有® 2.1 插值法插值法分段线性插值示意图分段线性插值示意图…………®例例5: 数据如例数据如例1, 应用分段线性插值计算应用分段线性插值计算f (0.5) , f(0.75)的近似值的近似值 2.1 插值法插值法n分段二次插值分段二次插值:n设设 是区间是区间 上的函数，在节点 上的函数，在节点 上的函数值为上的函数值为 ，， 记记 则则 的二次插值函数的二次插值函数 定义为 定义为: 在区间 在区间 上上显然有显然有® 2.1 插值法插值法分段二次插值示意图分段二次插值示意图®例例6: 数据如例数据如例1, 应用分段二次插值计算应用分段二次插值计算f (0.5) , f(0.75)的近似值的近似值………… 2.1 插值法插值法n三次样条插值函数三次样条插值函数n定义：对于区间定义：对于区间 上给定的一个分划上给定的一个分划 如果函数如果函数 在子区间在子区间 上都是不超过上都是不超过3次的多项式，次的多项式，并且并且 2 阶导数阶导数 在内节点在内节点 处连续，则称处连续，则称 为区间为区间 上以上以 为节点的三次样条函数。
为节点的三次样条函数n对于函数对于函数 ，若，若 还满足插值条件：还满足插值条件： 则称则称 为为 在区间在区间 上的上的 三三 次样条插值函数次样条插值函数® 2.1 插值法插值法n三次样条插值示意图三次样条插值示意图 : 例例7: 数据如例数据如例1x0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2f (x)21 25 23 20 21 24®如何求三次样如何求三次样条插值函数条插值函数??? 2.1 插值法插值法n三次样条三次样条 是节点 是节点 上的分段三次多项式，故可上的分段三次多项式，故可写成写成: 其中其中 为待定系数，共有为待定系数，共有 个未知数，个未知数， 而而 应满足的条件为：应满足的条件为： (1)插值和函数连续条件插值和函数连续条件 个；个； (2)内节点处一阶导数连续内节点处一阶导数连续 个条件；个条件； (3)内节点处二阶导数连续内节点处二阶导数连续 个条件；个条件；n总共由总共由 个条件，因此，要确定个条件，因此，要确定 个系数，还需要个系数，还需要附加两个条件。
附加两个条件用待定系数法需用待定系数法需要解一个要解一个4n阶的阶的线性议程组线性议程组,有没有没有更简便有更简便 的方法的方法???® 2.1 插值法插值法n求三次样条插值函数的三弯矩算法求三次样条插值函数的三弯矩算法n记记n经过推导可得经过推导可得n根据根据 的一阶导数在内节点的连续性的一阶导数在内节点的连续性,可得到可得到® 2.1 插值法插值法n在实际应用中，我们一般使用如下三种类型的条件在实际应用中，我们一般使用如下三种类型的条件n(1) 固支条件固支条件: 即已知两个端点的一阶导数值即已知两个端点的一阶导数值n(2) 已知两个端点的二阶导数值已知两个端点的二阶导数值: 特别地，当特别地，当 时称为自然边界条件时称为自然边界条件n(3) 周期条件周期条件: 同时要求同时要求® 2.1 插值法插值法n应用第一种边界条件得到的三弯矩方程应用第一种边界条件得到的三弯矩方程® 2.1 插值法插值法n应用第二种边界条件得到的三弯矩方程应用第二种边界条件得到的三弯矩方程® 2.1 插值法插值法n例例8: 设设 给定边界条件给定边界条件 试求三次样条函数试求三次样条函数 解：先求出三弯矩方程的参数解：先求出三弯矩方程的参数: 于是，三弯矩方程组为于是，三弯矩方程组为: 求出的解为求出的解为:® 2.1 插值法插值法n代入代入 的分段表示式，得到的分段表示式，得到:边界条件修改为边界条件修改为f ’(0)=-1, (0)=-1, f ’(3)=1)=1时时得到的三次样条曲线得到的三次样条曲线边界条件为边界条件为f ’(0)=0.2, )=0.2, f ’(3)=-1)=-1® 2.1 插值法插值法n练习练习 给定数据表如下给定数据表如下(同例同例1) , 求三次样条函数求三次样条函数 S(x) (1) 边界条件为边界条件为 f ‘ (0.2)=0 , f’(1.2) =0 (2) 边界条件为边界条件为 f ‘ (0.2)= -20, f’(1.2) =20 (3) 边界条件为边界条件为 f ‘‘ (0.2)=0, f’’(1.2) =0x0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2f (x)21 25 23 20 21 24®474.4 , -348.8, 474.4 , -348.8, 20.8, 20.8, 115.6, 117 , -283.5115.6, 117 , -283.5(1)(1)819.9 , -439.7 , 39 ,819.9 , -439.7 , 39 ,133.7 , 26.1 , 62133.7 , 26.1 , 62(2)(2) 0 , -220.3 , -18.7 , 0 , -220.3 , -18.7 ,145 , 38.8 , 0145 , 38.8 , 0(3)(3) 曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法: : 在中在中 找一函数找一函数 , ,使得误差平方和使得误差平方和 最小。
最小这里这里2.2 曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法设函数设函数 在区间在区间 上有定义上有定义, ,已知在离散点已知在离散点 上的实验上的实验数据数据 上的线性无关函数族上的线性无关函数族…………® 2.2 曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法n通常在最小二乘法中通常在最小二乘法中 都考虑为加权平方和都考虑为加权平方和 这里这里 是是[a,b]上的权函数上的权函数,它表示不同点它表示不同点 处的数据比重处的数据比重不同不同,例如例如 可表示在可表示在 点处重复观测的次数点处重复观测的次数n求解最小二乘拟合问题的方法求解最小二乘拟合问题的方法 (1) 计算向量加权内积计算向量加权内积 (2) 列出法方程列出法方程(正规方程正规方程) (3) 得到解向量得到解向量 即即 ® 2.2 曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法n例例9 考虑下表给出的离散点考虑下表给出的离散点ixiyixi2xi yiS*(xi)011.311.31.24123.547.02.76234.2912.64.28345.01610.05.79457.02535.07.31568.83652.88.836710.14970.710.347812.564100.011.868913.081117.013.3891015.6100156.014.89101116.1121177.116.41∑6697.1506749.5® 2.2 曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法S S* *(x) = -0.276 + 1.517 x(x) = -0.276 + 1.517 x® 2.2 曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法n例例10 考虑下表给出的离散点考虑下表给出的离散点xiyi01.00000.251.28400.501.64870.752.11701.002.7183xiyi - S*(xi)0-0.00520.250.01000.500.00050.75-0.01091.000.0053S S* *(x) = + x + (x) = + x + 0.8437 x2® 2.2 曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法n例例11 考虑下表给出的离散点考虑下表给出的离散点n可以假设模型为可以假设模型为 从而从而 即即 是是 和和 的线性组合的线性组合ixiyilnyixi2xjlnyi01.005.101.6291.00001.62911.255.791.7561.56252.19521.506.531.8762.25002.81431.747.452.0083.06253.51442.008.462.1354.00004.270® 2.2 曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法正规方程如下正规方程如下: 解得解得:拟合曲线为拟合曲线为:ixiyiS*(xi)01.005.105.0911.255.795.7821.506.536.5631.747.457.4442.008.468.44试一试直接用试一试直接用a0+a1x或或a0+a1x+a2x2进行拟合进行拟合,比较一比较一 下下哪种模型更精确哪种模型更精确???® 2.2 曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法S*1(x) = 1.6238 + 3.365953 xS*2(x) = 3.5171 + 0.693376 x + 0.89113 x2S*(x) = 3.071 exp( 0.5056 x)®在各种模型下拟合曲线的比较在各种模型下拟合曲线的比较 。
