2013年迎春杯高年级复赛试题及详解.pdf

2013 年年“数学解题能力展示数学解题能力展示”网络网络评选活动评选活动 小学高年级组复试试卷小学高年级组复试试卷 （测评时间：（测评时间：2013 年年 2 月月 2 日日 8:30—10:00）） 一．填空题一．填空题ⅠⅠ（每小题（每小题 8 分，共分，共 40 分）分） 1. 算式−×÷158 342 . 22013的计算结果是 ． 答案：答案：732 难度：难度：★☆★☆ 解析：解析：512=20137321115××=原式 2. 右图中，两个圆心角是 90°的扇形盖在大圆上，小圆盖在两个扇形上， 它们的圆心都在同一点．如果小圆、大圆、扇形的半径比是 1:3:4，那 么阴影图形面积占整个图形面积的 %． 答案：答案：32 难度：难度：★★★★ 解析：解析：设小圆、大圆、扇形的半径分别是设小圆、大圆、扇形的半径分别是 r、、3r、、4r．． 整个商标的面积是整个商标的面积是22211(4 )(3 )12.522rrrπππ+=；； 阴影部分的面积是阴影部分的面积是22211(3 )422rrrπππ−=；； 所以，阴影图形面积占整个商标图形面积的所以，阴影图形面积占整个商标图形面积的22432%12.5r rπ π=．． 3. 老师将写有 1～9 的 9 张卡片发给甲、乙、丙 3 个学生，每人 3 张． 甲说：我的三张卡片上的数字恰好是等差数列； 乙说：我的也是； 丙说：就我的不是等差数列． 如果他们说的都是对的，那么丙手中拿的三张卡片数字之和最小是__________． 答案：答案：9 难度：难度：★☆★☆ 解析：解析：甲、乙三张都是等差数列，其和一定是甲、乙三张都是等差数列，其和一定是 3 的倍数；的倍数；9 张和为张和为129 45+++ =，也是，也是 3 的倍的倍 数，所以丙的和一定是数，所以丙的和一定是 3 的倍数．丙最小不能取的倍数．丙最小不能取 6（（1 2 3+ +） ，所以至少为） ，所以至少为 9.经试验经试验 9 是可以的，是可以的， 甲、乙分别为（甲、乙分别为（9,8,7）和（）和（5,4,3） ，丙为（） ，丙为（1,2,6）） ．． 4. 迎春小学六年级同学在某次体育达标测试中， 达标的有 900 人， 参加测试但未达标的占参加 测试的同学人数的 25%，因故没有参加体育达标测试的占该年级全体同学人数的 4%．没有 参加体育达标测试的有 人． 答案：答案：50 难度：难度：★★★★ 解析：参加测试的有解析：参加测试的有900(125%)1200÷−=（人） ，（人） ， 所以没有参加测试的有所以没有参加测试的有1200(14%)4%50÷−×=（人）（人） ．． 5. 在右图的除法竖式中，被除数是 ． （2013 年的小学“数学解题能力展示”读者评选活动是第 29 届） 答案：答案：2582 难度：难度：★★☆★★☆ 解析：首先可以确定的数解析：首先可以确定的数如图所示；如图所示； 乘积个位为乘积个位为 3，只有，只有1 3a ×、、79a ×或或97a ×：： （（1）） 若为若为1 3a ×，，a只能为只能为 6，但此时，但此时 61 乘上一个数不能得到乘上一个数不能得到20□；； （（2）） 若为若为79a ×，，79 9106383=aa××+=□，，9a个位应为个位应为 2，，a只能为只能为 8，，而而 87 乘上一个数乘上一个数也不能得到也不能得到20□；； （（3）） 若为若为97a ×，，9776383aa×=+=□，，7a个位为个位为 2，，a只能为只能为 6，且，且693207×=，满足要，满足要求．因此除数为求．因此除数为 69，商为，商为 37，可得到被除数为，可得到被除数为 2582．． 二．二．填空题填空题ⅡⅡ（每小题（每小题 10 分，共分，共 50 分）分） 6. 算式111 101 91111 9151 41 3151 3141 31 2141 2131 21 1131 11××− ++ ××− + ××− + ××− 的计算结果是 ． 答案：答案：108 难度：难度：★★☆★★☆ 解析：解析： 1111111111110210811111111111111111111 2312342345341011910101112=−+−+−++−=−=−= ××××××××××原式7. 黑板上有 1～2013 共 2013 个数， 每次可以擦掉其中两个数， 并且写上这两数之和的数字和， 已知最后黑板上剩下四个数，其乘积为 27，那么这四个数的和是__________． 答案：答案：30 难度：难度：★★★★★★ 解析：一个数解析：一个数除以除以 9 的余数等于这个数各位数字之和除以的余数等于这个数各位数字之和除以 9 的余数．每次操作将数的和变为数的余数．每次操作将数的和变为数 字和，不改变除以字和，不改变除以 9 的余数．的余数．123201320142013210072013863(mod9)+++=×÷=×≡ ×≡，，则剩下这四个数的和除以则剩下这四个数的和除以 9 也余也余 3；； 将将 27 拆成四个数的乘积：拆成四个数的乘积：273 3 3 13 9 1 127 1 1 1= × × × = × × × =× × ×，和分别为，和分别为10,14,30，只有，只有 303(mod9)≡，所以这个数的和为，所以这个数的和为 30．． 8. 定义：(1)(2)(22)(21)aaaaaa∆ =++++++−+−，例如：556789∆ =++++， 那么，1231920∆ + ∆ + ∆ ++ ∆+ ∆的计算结果是__________． 答案：答案：4200 难度：难度：★★★★★★ 解析：将这些数填入下表中，第解析：将这些数填入下表中，第 1 行代表行代表1∆，第，第 2 行代表行代表2∆，依次类推，第，依次类推，第 20 行代表行代表20∆；； 2 0 3 1 2 9 8 2 2 2 为方便观察，为方便观察，将此表顺时针旋转将此表顺时针旋转 135°，如图，如图 2，此时每行的平均数均为，此时每行的平均数均为 20，表中共有，表中共有 1220210+++=个数，所以和为个数，所以和为210204200×=．． 12334 51819202021 2237 38 393536 37图 1 图 2 9. 将 1～16 填入 4×4 的表格中，要求同一行右面的比左面的大；同一列下 面的比上面的大． 其中 4 和 13 已经填好， 其余 14 个整数有 种 不同的填法． 答案：答案：1120 难度：难度：★★★☆★★★☆ 解析：左上角四个格和右下角四个格各有解析：左上角四个格和右下角四个格各有 2 种填法：种填法： 1415 16131514 161323143241剩下左下角四个格和右上角四个格，还有剩下左下角四个格和右上角四个格，还有 8 个数未填，此时可以从中任选个数未填，此时可以从中任选 4 个数，填在其个数，填在其中四中四个格中，每个格中，每 4 个数都有个数都有 2 种填法，所以共有种填法，所以共有4 822221120C× ×× ×=种填法．种填法． 次小次大最大最小最小最大次大次小10. n 名海盗分金币．第 1 名海盗先拿 1 枚金币，再拿剩下金币的 1%；然后，第 2 名海盗先拿 2 枚，再拿剩下金币的 1%；第 3 名海盗先拿 3 枚，再拿剩下金币的 1%；……第 n 名海盗先 拿 n 枚，再拿剩下金币的 1%．结果金币全被分完，且每位海盗拿的金币都一样多．那么共 有金币 枚． 答案：答案：9801 难度：难度：★★★☆★★★☆ 解析：解析：第第 n 名海盗先拿名海盗先拿 n 枚，再拿剩下金币的枚，再拿剩下金币的 1%，，结果金币全被分完，结果金币全被分完，说明剩下的金币为说明剩下的金币为 0 枚，枚，第第 n 名海盗名海盗实际实际拿拿 n 枚枚；； 第第1n −名海盗先拿名海盗先拿1n −枚，枚，再拿剩下金币的再拿剩下金币的 1%，由于每位海盗拿的金币一样多，所以，由于每位海盗拿的金币一样多，所以剩下金剩下金 币的币的 1%是是 1 枚，那么剩下金币的枚，那么剩下金币的99%即即n为为 99 枚；枚； 每个人都拿每个人都拿 99 枚，一共枚，一共 99 人，所以共有人，所以共有99999801×=枚．枚． 三．三．填空题填空题ⅢⅢ（每小题（每小题 12 分，共分，共 60 分）分） …… …… …… 37 36 35 39 38 37 22 21 20 20 19 18 5 4 3 3 2 1 …… …… …… 4 13 11. 右图中， 长方形 ABCD 的面积是 2013 平方厘米． △AOD、 △BOC、 △ABE、 △BCF、 △CDG、 △ADH 都是等边三角形，M、N、P、Q 分别是△ABE、△BCF、△CDG、△ADH 的中心．那 么阴影部分的面积是__________平方厘米． 答案：答案：2684 难度：难度：★★★☆★★★☆ 解析：如图，连接解析：如图，连接AM、、OM、、OQ,OQ交交AD于点于点K；； Q为等边三角形为等边三角形 ADH 的中心，的中心，△△AOD 与与△△ADH 完全一样，完全一样， ∴1 3QKOK= ∴4 3OQOK= △△OQM的高为的高为OQ，底为，底为OM；；△△AOD 的高为的高为OK，底为，底为AD，，由于由于OMAD=，， ∴4 3OQMAODSS=△△又又1 4OQMSS=△阴影，，1 4AODABCDSS△= ∴442013 268433SS=×阴影ABCD==（平方厘米）（平方厘米） 下面简单证明下面简单证明OMAD=：： M为等边三角形中心 30MAB∴∠=° △AOD 为等边三角形 ∴906030OAB∠=−=°，AOAD= ∴60MAO∠=° 又60AOM∠=° ∴△AOM是等边三角形 ∴OMAOAD== 12. 甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，相向匀速而行；当甲、乙在途中 C 地相遇时，丙从 B 地出发，匀速去 A 地；当甲与丙在 D 地相遇时，甲立即调头且速度降为原来的 80%；当 甲、丙同时到 A 地时，乙离 A 地还有 720 米．如果 CD 间的路程是 900 米，那么 AB 间的路 程是 米． 答案：答案：5265 难度：难度：★★★★★★★★ 解析： 甲解析： 甲速度降为原来的速度降为原来的 80%， 与， 与丙同时到丙同时到 A 地地， 则甲丙速度比为， 则甲丙速度比为5:4， 因此甲从， 因此甲从C到到D走走 900米，则丙从米，则丙从B到到D走走49007205×=米；米； 甲从甲从 A 回到回到 A 走了两个（全程走了两个（全程−720 米） ，同样时间内乙走了一个（全程米） ，同样时间内乙走了一个（全程−720 米） ，甲走的第二米） ，甲走的第二个是用个是用 80%的速度走的， 所以相当于用原速走了的速度走的， 所以相当于用原速走了9 4个 （全程个 （全程−720 米） ， 所以甲乙的速度比为米） ， 所以甲乙的速度比为9:4；； 甲乙相遇时乙从甲乙相遇时乙从B到到 C 走了走了9007201620+=米，所以全程为米，所以全程为49162052654+×=米．米． A B C D M N P Q E F G H O K 13. 有 16 名学生，他们坐成一个 4×4 的方阵，某次考试中他们的得分互不相同，得分公布后，。