数学建模习题集与问题详解解析汇报课后习题集.doc

word第一局部 课后习题1. 学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍学生们要组织一个10人的委员会，试用如下方法分配各宿舍的委员数：〔1〕按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数局部较大者〔2〕节中的Q值方法〔3〕d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表：12345…A235…B333111…C432216144108将所得商数从大到小取前10个〔10为席位数〕，在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位你能解释这种方法的道理吗如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额将3种方法两次分配的结果列表比拟〔4〕你能提出其他的方法吗用你的方法分配上面的名额2. 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品廉价这种现象了吗比如洁银牙膏50g装的每支元，120g装的元，二者单位重量的价格比是：1试用比例方法构造模型解释这个现象〔1〕分析商品价格C与商品重量w的关系价格由生产本钱、包装本钱和其他本钱等决定，这些本钱中有的与重量w成正比，有的与外表积成正比，还有与w无关的因素。

〔2〕给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小解释实际意义是什么3. 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据〔胸围指鱼身的最大周长〕：身长〔cm〕重量〔g〕76548211627374821389652454胸围〔cm〕先用机理分析建立模型，再用数据确定参数4. 用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角应多大〔如图〕假如知道管道长度，需用多长布条〔可考虑两端的影响〕如果管道是其他形状呢5. 用尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘，给出几种简便、有效的排列方法，使加工出尽可能多的圆盘6. 动物园里的成年热血动物靠饲养的食物维持体温根本不变，在一些合理、简化的假设下建立动物的饲养食物量与动物的某个尺寸之间的关系7. 举重比赛按照运动员的体重分组，你能在一些合理、简化的假设下建立比赛成绩与体重之间的关系吗下面是一届奥员会的竞赛成绩，可供检验你的模型组别最大体重〔kg〕抓举　〔kg〕挺举　〔kg〕总成绩〔kg〕154155259170364335470576200683180791213899185235420910823543010〉108.5260第一局部 课后习题答案1. 按照题目所给方法〔1〕，〔2〕，〔3〕的席位分配结果如下表：宿舍〔1〕〔2〕〔3〕〔1〕〔2〕〔3〕A322443B333555C455667总计1010101515152. 〔1〕生产本钱主要与重量w成正比，包装本钱主要与外表积s成正比，其它本钱也包含与w和s成正比的局部，上述三种本钱中都含有与w，s均无关的成分。

又因为形状一定时一般有，故商品的价格可表为〔为大于0的常数〕〔2〕单位重量价格，其简图如下：显然c是w的减函数，说明大包装比小包装的商品廉价，；曲线是下凸的，说明单价的减少值随着包装的变大是逐渐降低的，不要追求太大包装的商品3. 对于同一种鱼不妨认为其整体形状是相似的，密度也大体上一样，所以重量w与身长的立方成正比，即，为比例系数常钓得较肥的鱼的垂钓者不一定认可上述模型，因为它对肥鱼和瘦鱼同等看待如果只假定鱼的横截面积是相似的，如此横截面积与鱼身最大周长的平方成正比，于是，为比例系数利用数据估计模型中的系数可得=0.014，=0.0322，将实际数据与模型结果比拟如下表：实际重量〔g〕76548211627374821389652454模型72746912267274831339675483模型73046511007304831471607483根本上满意4. 将管道展开如图：可得，假如d一定，w趋于0，趋于/2；w趋于d，趋于0假如管道长度为，不考虑两端的影响时布条长度显然为d/w，假如考虑两端影响，如此应加上dw/sin对于其它形状管道，只需将d改为相应的周长即可5. 设圆盘半径为单位1，矩形板材长a，宽b；可以准确加工，即圆盘之间与圆盘与板材之间均可相切。

方案一：圆盘中心按正方形排列，如如下图1，圆盘总数为=[a/2][b/2]方案二：圆盘中心按六角形排列，如如下图2，行数m满足2+〔m-1〕a，于是m=图1图2列数〔按图2第1行计数〕n满足：假如[b]为奇数，如此各行圆盘数一样为〔[b]-1〕/2；假如[b]为偶数，如此奇数行圆盘数为[b]/2，偶数行圆盘数为[b]/2-1圆盘总数为其中〔1〕为：m为偶数〔2〕为：m为奇数，[b]为偶数ab两个方案的比拟见下表(表中数字为/)：35810142042/24/48/710/914/1320/1973/36/612/1115/1421/2030/29105/510/1020/1825/2335/3350/48157/814/1628/2835/3649/5270/762010/1120/2240/3950/5070/72100/105当a，b较大时，方案二优于方案一其它方案，方案一、二混合，假如a=b=20，3行正方形加8行六角形，圆盘总数为1066. 假设处于静止状态的动物的饲养食物量主要用于维持体温不变，且动物体热量主要通过它的外表积散失，对于一种动物其外表积S与某特征尺寸之间的关系是，所以饲养食物量。

7. 假设举重比赛成绩y与运动员肌肉的截面积s成正比，而截面积〔是某特征尺寸〕，体重，于是用举重总成绩检验这个模型，结果如如下图3；如果用举重总成绩拟合，可得=0.57，结果如如下图4图3图4第二局部课后习题1. Malthus模型预测的优缺点2. 阻滞增长模型预测的优缺点3. 简述动态模型和微分方程建模4. 按照你的观点应从那几个方面来建立传染病模型5. 表示Leslie人口模型的特点并讨论稳定状况下种群的增长规律6. 试比拟连续形式的阻滞增长模型 (Logistic模型)和离散形式阻滞增长模型, 并讨论离散形式阻滞增长模型平衡点与其稳定性第二局部课后习题答案1. 优点: 短期预报比拟准确; 缺点: 不适合中长期预报; 原因: 预报时假设人口增长率为常数, 没有考虑环境对人口增长的制约作用2. 优点: 中期预报比拟准确; 缺点: 理论上很好，实用性不强; 原因: 预报时假设固有人口增长率以与最大人口容量为定值实际上这两个参数很难确定，而且会随着社会开展情况变化而变化3. 动态模型: 描述对象特征随时间(空间)的演变过程, 分析对象特征的变化规律, 预报对象特征的未来性态, 研究控制对象特征的手段；微分方程建模: 模根据函数与其变化率之间的关系确定函数, 根据建模目的和问题分析作出简化假设, 按照在规律或用类比法建立微分方程。

4. 描述传染病的传播过程, 分析受感染人数的变化规律, 预报传染病高潮到来的时刻, 预防传染病蔓延的手段, 按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型5. 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同, 以雌性个体数量为对象(假设性别比为1:1), 是一种差分方程模型6. 连续形式: 表示某种群时刻的数量(人口)离散形式: 表示某种群第代的数量(人口)假如, 如此, 是平衡点; 的平衡点为. 的平衡点为, 其中, 此时的差分方程变为.由可得平衡点. 在平衡点处,由于,因此, 不稳定. 在在平衡点处, 因,所以(i) 当时, 平衡点不稳定;(ii) 当时, 平衡点不稳定.第三局部 课后习题1. 判断如下数学模型是否为线性规划模型〔a,b,c为常数，x,y为变量〕2. 将下述线性规划问题化为标准形式3. 用单纯形法求解线性规划问题4. 检验函数在处有正定，从而为极小点证明G为奇异当且仅当，从而证明对所有满足的x，G是正定的5. 求出函数的所有平稳点；问哪些是极小点？是否为全局极小点？6. 应用梯度法于函数取迭代求第三局部 课后习题答案1. 答案：〔1〕是 〔2〕不是 〔3〕是2. 答案：〔1〕〔2〕令引入松弛变量可得到如下的标准形式：〔3〕解：〔4〕解：3. 答案：在上述问题的约束条件中参加松弛变量，将原问题化成标准形式如下：其现成可行基对应的单纯形表如下： 25 0 0 0 0 10 1 0 04 02 0 1 0123200118换基迭代，得 20 0 - 5/2 0 -30 10 1 0 04 01 0 1/2 063 00-116换基迭代，得 00 0 -11/6 -2/3 -34 00 1 1/3 -1/32 01 0 1/2 06100-1/31/32故最优解为，目标函数的最优值为.4. 证明： ，，经检验，正定，奇异当且仅当即。

假如，即时，正定，所以假如如此，即，故正定5. 解：，故平稳点为极小点为且是全局极小点6. 解：第四局部 课后习题1. 如果开金矿博弈中第三阶段乙选择打官司后的结果尚不能确定，即图中a、b的数值不确定讨论本博弈可能有哪些可能的结果？如果本博弈中的“威胁〞和“承诺〞是可信的，a、b应满足什么条件？〔a, b〕 (0, 4)2. 静态贝叶斯博弈中参与人的策略有什么特点？为什么？3. 有了海萨尼转换，不完全信息动态博弈和完全但不完美信息动态博弈根本上是一样的，，。