考研精华11-2.ppt

第二节 对坐标的曲线积分• 一、引例—变力沿曲线所作的功• 二、对坐标的曲线积分的概念 • 三、对坐标的曲线积分的性质 • 四、对坐标的曲线积分的计算 • 五、两类曲线积分之间的联系一、引例—变力沿曲线所作的功设一质点在变力作用下沿 xoy 平面内的光滑曲线弧 L 从点A移动到点 B, 求变力所作的功W. 常力沿直线所作的功：分割” “取近似” “求和” “取极限”本例解决办法:用 L 上的点（1）分割：（2）取近似：（3）求和：（4）取极限：把 L 分为 n 个弧小段 用有向线段 近似代替有向小弧段 (其中 为 n 个小弧段的最大长度)二、对坐标的曲线积分的概念定义类似地，如果 总存在，则称此极限为函数 在有向曲线弧 L 上对坐标 y 的曲线积分，记作 ，即——被积函数其中——积分弧段（或积分曲线）——被积表达式L10 对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分．40 定义可推广到积分弧段为空间曲线弧Γ的情形：注20 如果 L 是闭曲线, 则积分号“ ”,应改写为“ ”．可简记为3050 对坐标的曲线积分的物理意义沿有向曲线L所作的功．变力三、对坐标的曲线积分的性质性质2性质1性质3性质4设L－ 表示 L 的反向弧,则性质4表明：对坐标的曲线积分必须注意 积分弧段的方向!四、对坐标的曲线积分的计算设有向曲线弧 L 由参数方程给出，则10 若有向曲线弧 L 的方程为20 若有向曲线弧 L 的方程为 注则视 x 为参数,则视 y 为参数, 40 对于空间有向曲线弧Γ：计算其中L 为抛物线上从点的一段弧. 例1解Γ：计算，其中Γ 是从点到点 的直线段. 例2解(1)计算其中L为：(1)从点(1, 0 )到点( 0, 1 )的有向线段；(2)从点(1, 0 ) 到点( 0,0 ) 再到点( 0, 1) 的有向折线段；(3) 曲线 上 从点(1, 0 )到点( 0, 1 )的一段弧． 例3解(2) 其中(3)例4 求其中从 z 轴正向看为顺时针方向.解五、两类曲线积分之间的联系【其中 为有向曲线弧 L在（指向与 L 的方向一致）的处的切向量点方向余弦.】【其中 为有向方向一致）的方向余弦.】处的切向量（指向与 L 的曲线弧 Γ 在点推导设处的切向量的为曲线 L在点的方向余弦为则例5将化为对弧长的曲线积分 ,解其中L 沿上半圆周 从直线 的参数方程为设在力场作用下,质点由点 沿直线 移动到点试求力场对质点所作的功.解思考题1原点 O 的距离成正比,思考题2设一个质点在处受恒指向原点,沿椭圆此质点由点沿逆时针移动到提示:F 的大小与M 到原 F 的方向力F 的作用 ,求力F 所作的功. 思考: 若题中F 的方向 改为与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则 。