高中数学 第三章 导数及其应用本章整合课件 新人教b版选修1-1.ppt

本 章 整 合,第三章 导数及其应用,专题一,专题二,专题三,专题一 导数的概念及其几何意义 1.用定义求导数的一般步骤: (1)求函数值的改变量Δy=f(x+Δx)-f(x);,2.导数的几何意义: 由于函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0),就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,其切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决.,专题一,专题二,专题三,应用1 已知f(x)在x=x0处可导,,A.f'(x0) B.f(x0) C.[f'(x0)]2 D.2f'(x0)f(x0),专题一,专题二,专题三,应用2 设f(x)为可导函数,且满足条件 ,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.,专题一,专题二,专题三,专题二 用导数求函数的单调区间、极值、最值 1.求函数单调区间的步骤: (1)确定f(x)的定义域; (2)计算导数f'(x); (3)求出f'(x)=0的根; (4)用f'(x)=0的根将定义域分成若干区间,判断f'(x)在各区间内的符号,进而确定f(x)的单调区间. 2.求函数极值的步骤: (1)求导数f'(x); (2)求f'(x)=0或f(x)不存在的所有点; (3)检查上面求出的x的两侧导数的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个点处取得极大值,如果左负右正,那么f(x)在这个点处取得极小值.,专题一,专题二,专题三,3.求函数最值的步骤: (1)求函数f(x)在[a,b]上的极值; (2)极值与f(a),f(b)相比较,最大的为最大值,最小的为最小值.,专题一,专题二,专题三,应用 已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数. (1)求f(x)的表达式; (2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值. 提示:由函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数a,b∈R),g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数,可求得a,b.然后按照求最值的步骤求其最大值与最小值.,专题一,专题二,专题三,解: (1)∵f(x)=ax3+x2+bx,∴f'(x)=3ax2+2x+b. 故g(x)=f(x)+f'(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b.,专题一,专题二,专题三,专题三 利用求导法证明不等式、求参数范围等 1.在用求导法证明不等式时,首先要构造函数和确定定义域,其次运用求导的方法来证明. 2.一些求题中参数取值范围的问题,常转化为恒成立问题来解决. 利用f(x)a恒成立⇔f(x)mina的思想解题. 3.解极值应用的问题一般分三个步骤: (1)建立函数关系式; (2)求所列函数关系式中可能取得极值的点; (3)具体作出判断,得出结果. 其中关键在于建立函数关系式,若所求函数只有一个极值点,一般就是要求的最大值(或最小值)点.,专题一,专题二,专题三,提示:可利用构造函数求极值的方法予以证明,同时要注意到题中x0这一隐含条件.,专题一,专题二,专题三,应用2 已知在函数f(x)=mx3-x的图象上,以N(1,n)为切点的切线的倾斜角为 . (1)求m,n的值. (2)是否存在最小的正整数k,使得不等式f(x)≤k-2 000对于x∈[-1,3]恒成立?如果存在,请求出最小的正整数k;如果不存在,请说明理由. 提示:(1)切线的倾斜角为 ⇒切线的斜率为1,即函数f(x)=mx3-x在N(1,n)的导数为1,从而求出m,进而求出n. (2)不等式f(x)≤k-2 000对于x∈[-1,3]恒成立⇔f(x)最大值≤k-2 000,解不等式即可求得k.,专题一,专题二,专题三,因此,当x∈[-1,3]时,f(x)max=15. 要使得不等式f(x)≤k-2 000对于x∈[-1,3]恒成立, 则k≥15+2 000=2 015.所以,存在最小的正整数k=2 015使得不等式f(x)≤k-2 000对于x∈[-1,3]恒成立.,3(福建高考)若a0,b0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,则ab的最大值等于( ) A.2 B.3 C.6 D.9 解析:由题意得f'(x)=12x2-2ax-2b. ∵函数f(x)在x=1处有极值,∴f'(1)=0. ∴12-2a-2b=0,即a+b=6.,答案:D,4(重庆高考)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf'(x)的图象可能是( ),解析:由题意可得f'(-2)=0,而且当x∈(-∞,-2)时,f'(x)0;当x∈(-2,+∞)时,f'(x)0,此时若x∈(-2,0),xf'(x)0,所以函数y=xf'(x)的图象可能是选项C中的图象. 答案:C,5(辽宁高考)函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)2,则f(x)2x+4的解集为( ) A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞) 解析:由题意,令φ(x)=f(x)-2x-4,则φ'(x)=f'(x)-20. ∴φ(x)在R上是增函数.又φ(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=0, ∴当x-1时,φ(x)φ(-1)=0,即f(x)-2x-40,即f(x)2x+4.故选B. 答案:B,7(课标全国Ⅱ高考)已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2,曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2. (1)求a; (2)证明:当k1时,曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点. 分析:(1)由条件曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为-2,这就说明要表示出切线方程,需要求函数f(x)的导数,求出f'(0),从而得到切线斜率,表示出切线方程,把点(-2,0)代入可得关于a的方程,求得a的值.对于(2),欲证曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点,可构造函数g(x)=f(x)-kx+2,只需证明函数g(x)与x轴有唯一的交点,这就需要利用函数的单调性研究g(x)的图象来解决.,(1)解:f'(x)=3x2-6x+a,f'(0)=a, 曲线y=f(x)在点(0,2)处的切线方程为y=ax+2,由题设得 所以a=1. (2)证明:由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2, 设g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4, 由题设知1-k0. 当x≤0时,g'(x)=3x2-6x+1-k0,g(x)单调递增,g(-1)=k-10时,令h(x)=x3-3x2+4, 则g(x)=h(x)+(1-k)xh(x). h'(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增,所以g(x)h(x)≥h(2)=0, 所以g(x)=0在(0,+∞)没有实根. 综上,g(x)=0在R有唯一实根,即曲线y=f(x)与直线y=kx-2只有一个交点.,。