2000到2023年数学2真题.doc

2000 到2023年数学2真题 - 教育文库 2023一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分) 1、limx?13?x?1?x=〔 〕． 2x?x?22、曲线e2x?y?cos(xy)?e?1在点〔0，1〕处 的切线方程为 ：〔 〕． 3、-2?2?(x3?sin2x)cos2xdx=〔 〕． 4、微分方程y?arcsinx?y1?x2=0的特解为：〔 〕． ?1满足y(12)?a11-x1-1---?5、方程组?1a1-x2-?1?有无穷多解，那么a=〔 〕． ?11a-x-?2--3-?二、单项选择题(此题共5小题,每题3分,总分值15分．) 1、f(x)-?1?0x?1x?1那么f{f[f(x)]}= ?1 〔 A 〕 0；〔B〕1；〔C〕-0x?1?0； 〔D〕?x?1?1nx?1． x?1n2、x?0时，(1?cosx)ln(1?x2)是比xsinx高阶的无穷小，而xsinx是比 ex?1高阶的无穷小，那么正整数n等于 〔 A 〕1；〔B〕2；〔C〕3；〔D〕4． 3、曲线y?(x?1)(x?3)的拐点的个数为 〔 A 〕０；〔B〕１；〔C〕２；〔D〕３． 4、函数f(x)在区间〔1-δ，1+δ〕内二阶可导，f?(x) 严格单调减小，且 f(1)=f?(1)=1，那么 〔A〕在〔1-δ，1〕和〔1，1+δ〕内均有f(x)?x； 〔B〕在〔1-δ，1〕和〔1，1+δ〕内均有f(x)?x； 〔C〕在〔1-δ，1〕内有f(x)?x，在〔1，1+δ〕内有f(x)?x； 〔D〕在〔1-δ，1〕内有f(x)?x，在〔1，1+δ〕内有f(x)?x． 5、〔同数学一的二1〕 222 三、〔此题总分值6分〕求?(2xdx2?1)1?x2． xsintsint?)sinx的表达式，并指出函数f(x)的连续点四、〔此题总分值7分〕求函数f(x)=lim(t?xsinx及其类型． 五、〔此题总分值7分〕设-?(x)是抛物线y?〔x?1〕处的曲x上任意一点M〔x,y〕d2?d?2?率半径，s?s(x)是该抛物线上介于点A〔1，1〕与M之间的弧长，计算3?dsds2的值〔曲率K＝y-(1?y?)232〕． 六、〔此题总分值7分〕f(x)在[0，+?〕可导，f(0)=0，且其反函数为g(x)． 假设?f(x)0g(t)dt?x2ex，求f(x)． x七、〔此题总分值7分〕设函数f(x)，g(x)满足f?(x)=g(x)， g?(x)=2e－f(x) 且f(0)=0，g(0)=2，求-0[g(x)f(x)?]dx 1?x(1?x)2八、〔此题总分值9分〕设L为一平面曲线，其上任意点P〔x,y〕〔x?0〕到原点的间隔 ，恒等于该点处 的切线在y轴上的截距，且L过点〔0.5，0〕． 1、 求L的方程 2、 求L的位于第一象限局部的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围成的图形的面积最小． 九、〔此题总分值7分〕一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积S成正比 比例系数K>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，半径为 r0 的雪堆 在开场融化的3小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少时间？ 十、〔此题总分值8分〕f(x)在[-a，a]上具有二阶连续导数，且f(0)=0 1、 写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式； 2、 证明在[-a，a]上至少存在一点?，使af-(?)?33?a?af(x)dx ?100-011--?十一、〔此题总分值6分〕A-110?,B-?且满足 ?111-110--? AXA+BXB=AXB+BXA+E，求X． 十二、〔此题总分值6分〕设?1,?2,?3,?4为线性方程组AX=O的一个根底解系， ?1-1?t?2,?2-2?t?3,?3-3?t?4,?4-4?t?1，其中t为实常数 试问t满足什么条件时?1,?2,?3,?4也为AX=O的一个根底解系． 2023 一、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分) 1?e-arcsin2xf(x)-2x-aetanx1．设函数x?0在x?0处连续，那么a?〔 〕． x?02．位于曲线y?xe?x〔0?x-?〕下方，x轴上方的无界图形的面积为〔 〕． 3．yy-?y?2?0满足初始条件y(0)?1,y?(0)?12的特解是〔 〕． 41?2?n?lim[1?cos?1?cos-?1?cos]n-nnnn=〔 〕． ?0?2?2-?2?2?的非零特征值是〔 〕5．矩阵?2． -2?22-?二、单项选择题(此题共5小题,每题3分,总分值15分．) 2１．函数f(u)可导，y?f(x)当自变量x在x-1处获得增量?x-0.1时，相应的函数增量?y的线性主部为０．１，那么f?(1)＝ 〔Ａ〕－１； 〔Ｂ〕０．１； 〔Ｃ〕１； 〔Ｄ〕０．５． ２．函数f(x)连续，那么以下函数中，必为偶函数的是 (A)?x0f(t2)dt； (B) x?x0f2(t)dt； x0 (C) ?t[f(t)?f(?t)]dt； (D) ?t[f(t)?f(?t)]dt． 03x３．设y?f(x)是二阶常系数微分方程y-?py-qy?e满足初始条件y(0)?y?(0)?0的 ln(1?x2) 特解，那么极限lim x?0y(x) (A)不存在； 〔Ｂ〕等于１； (C)等于２； (D) 等于３． ４．设函数f(x)在R上有界且可导，那么 (A)当limf(x)?0时，必有limf?(x)?0； x-?x-- 〔Ｂ〕当limf?(x)存在时，必有limf?(x)?0； x-?x-? (C) 当limf(x)?0时，必有limf?(x)?0； x?0?x?0? (D) 当limf?(x)存在时，必有limf?(x)?0． x?0?x?0?5．设向量组?1,?2,?3线性无关，向量?1可由?1,?2,?3线性表示，而向量?2不能由?1,?2,?3线性表示，那么对于任意常数k必有 〔Ａ〕?1,?2,?3,k?1-2线性无关；(B) 〔Ｃ〕?1,?2,?3,?1?k?2线性无关； (D) ?1,?2,?3,k?1-2线性相关； ?1,?2,?3,?1?k?2线性相关． 三、〔此题总分值6分〕曲线的极坐标方程为r?1?cos?，求该曲线对应于-?处的6切线与法线的直角坐标方程． 32?2x-2x四、〔此题总分值７分〕设函数y?f(x)-xex-(ex?1)2?1?x?00?x?1， 求函数F(x)-x?1f(t)dt的表达式． x--五、〔此题总分值７分〕函数f(x)在R上可导，f(x)?0，limf(x)?1，且满足 1f(x?hx)1hlim?ex，求f(x)． h?0f(x)六、〔此题总分值７分〕求微分方程xdy?(x?2y)dx?0的一个解y?y(x)，使得由曲线y?y(x)与直线x?1,x?2以及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周的旋转体的体积最小． 七、〔此题总分值7分〕某闸门的形状与大小如下图，其中直线l 为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲线与线段 ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形局部与 承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形局部 的高h应为多少？ 八、〔此题总分值８分〕 设0?xn?3，xn?1?． xn(3?xn)〔n＝１，２，３，…〕证明：数列｛xn｝的极限存在，并求此极限． 九、〔此题总分值８分〕设b?a?0，证明不等式2alnb?lna1． -b?aa2?b2ab十、〔此题总分值8分〕设函数f(x)在x＝０的某邻域具有二阶连续导数，且 f(0)f?(0)f-(0)?0．证明：存在惟一的一组实数a,b,c，使得当h?0时， af(h)?bf(2h)?cf(3h)?f(0)?o(h2)． 十一、〔此题总分值６分〕Ａ，Ｂ为三阶方阵，且满足2AB?B?4E． ⑴证明：矩阵A?2E可逆； ?1?1?20-?20?，求矩阵Ａ． ⑵假设B-1?002-?十二、〔此题总分值６分〕四阶方阵A?(?1,?2,?3,?4)， ?1,?2,?3,?4均为四维列向量，其中?2,?3,?4线性无关，?1?2?2-3．假设-?1-2-3-4，求线性方程组Ax-的通解． 2023年考研数学〔二〕真题评注 一、填空题〔此题共6小题，每题4分，总分值24分. 把答案填在题中横线上〕 〔1〕 假设x?0时，(1?ax)?1 与xsinx是等价无穷小，那么a= . 〔2〕 设函数y=f(x)由方程xy?2lnx?y所确定，那么曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 . 〔3〕 y?2的麦克劳林公式中x项的系数是 ——. 〔4〕 设曲线的极坐标方程为-e(a?0) ，那么该曲线上相应于?从0变到2?的a?xn2144第 页 共 页。