2003年考研数学(一)真题评注.doc

2003年考研数学（二）真题评注一、 一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） 若时，与是等价无穷小，则a= -4 .【分析】 根据等价无穷小量的定义，相当于已知，反过来求a. 注意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简.【详解】 当时，，.于是，根据题设有 ，故a=-4.（2） 设函数y=f(x)由方程所确定，则曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程是 x-y=0 .【分析】 先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可.【详解】 等式两边直接对x求导，得 ，将x=1,y=1代入上式，有 故过点(1,1)处的切线方程为 ，即 （3） 的麦克劳林公式中项的系数是 .【分析】 本题相当于先求y=f(x)在点x=0处的n阶导数值，则麦克劳林公式中项的系数是【详解】 因为 ，，，于是有 ，故麦克劳林公式中项的系数是（4） 设曲线的极坐标方程为，则该曲线上相应于从0变到的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 .【分析】 利用极坐标下的面积计算公式即可.【详解】 所求面积为 =.（5） 设为3维列向量，是的转置. 若，则= 3 .【分析】 本题的关键是矩阵的秩为1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行（或任一非零行），列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成.【详解】 由=，知，于是（6） 设三阶方阵A,B满足，其中E为三阶单位矩阵，若，则 .【分析】 先化简分解出矩阵B，再取行列式即可.【详解】 由知， ，即 ，易知矩阵A+E可逆，于是有 再两边取行列式，得 ，因为 , 所以 .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设均为非负数列，且,,,则必有(A) 对任意n成立. (B) 对任意n成立.(C) 极限不存在. (D) 极限不存在. [ D ]【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限是型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限属型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取，，，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).（2）设, 则极限等于 (A) . (B) . (C) . (D) . [ B ]【分析】 先用换元法计算积分，再求极限.【详解】 因为 = =，可见 =（3）已知是微分方程的解，则的表达式为 （A） (B) (C) (D) [ A ]【分析】 将代入微分方程，再令的中间变量为u，求出的表达式，进而可计算出.【详解】将代入微分方程，得 ，即 .令 lnx=u，有 ，故 =应选(A). （4）设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) (A)   一个极小值点和两个极大值点. (B) (B)   两个极小值点和一个极大值点. (C) (C)   两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ C ]  y    O x  【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).（5）设,, 则 (A) (B) (C) (D) [ B ]【分析】 直接计算是困难的，可应用不等式tanx>x, x>0.【详解】 因为当 x>0 时，有tanx>x，于是 ，，从而有 ， ，可见有 且，可排除(A),(C),(D)，故应选(B).（6）设向量组I：可由向量组II：线性表示，则 (A) 当时，向量组II必线性相关. (B) 当时，向量组II必线性相关. (C) 当时，向量组I必线性相关. (D) 当时，向量组I必线性相关. [ D ]【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I：可由向量组II：线性表示，则当时，向量组I必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I：可由向量组II：线性表示，且向量组I线性无关，则必有. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法：如，则，但线性无关，排除(A)；，则可由线性表示，但线性无关，排除(B)；，可由线性表示，但线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).三 、（本题满分10分）设函数 问a为何值时，f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？【分析】 分段函数在分段点x=0连续，要求既是左连续又是右连续，即 【详解】 = = =令，有 ，得或.当a=-1时，，即f(x)在x=0处连续.当a=-2时，，因而x=0是f(x)的可去间断点.四 、（本题满分9分） 设函数y=y(x)由参数方程所确定，求【分析】 本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可. 注意当x=9 时，可相应地确定参数t的取值.【详解】由，，得 所以 = =当x=9时，由及t>1得t=2, 故 五 、（本题满分9分） 计算不定积分 【分析】 被积函数含有根号，典型地应作代换：x=tant, 或被积函数含有反三角函数arctanx，同样可考虑作变换：arctanx=t，即 x=tant.【详解】 设，则==又 = =，故 因此 = =本题也可用分布积分法： = = = =，移项整理得 =本题的关键是含有反三角函数，作代换或tant=x, 六 、（本题满分12分） 设函数y=y(x)在内具有二阶导数，且是y=y(x)的反函数.(1) 试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件的解.【分析】 将转化为比较简单，=，关键是应注意：= =.然后再代入原方程化简即可.【详解】 (1) 由反函数的求导公式知 ，于是有==.代入原微分方程得 ( * )(2) 方程( * )所对应的齐次方程的通解为 设方程( * )的特解为 ，代入方程( * )，求得，故，从而的通解是 由，得. 故所求初值问题的解为 七 、（本题满分12分） 讨论曲线与的交点个数.【分析】 问题等价于讨论方程有几个不同的实根. 本题相当于一函数作图题，通过单调性、极值的讨论即可确定实根的个数（与x轴交点的个数）.【详解】 设， y则有 4-k不难看出，x=1是的驻点. O 1 x当时，，即单调减少；当x>1时，，即单调增加，故为函数的最小值.当k<4，即4-k>0时，无实根，即两条曲线无交点；当 k=4，即4-k=0时，有唯一实根，即两条曲线只有一个交点；当 k>4，即4-k<0时，由于；，故有两个实根，分别位于(0,1)与内，即两条曲线有两个交点.八 、（本题满分12分） 设位于第一象限的曲线y=f(x)过点，其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分.(1) (1)    求曲线 y=f(x)的方程；(2) (2)    已知曲线y=sinx在上的弧长为，试用表示曲线y=f(x)的弧长s.【分析】 (1) 先求出法线方程与交点坐标Q，再由题设线段PQ被x轴平分，可转化为微分方程，求解此微分方程即可得曲线y=f(x)的方程. (2) 将曲线 y=f(x) 化为参数方程，再利用弧长公式进行计算即可.【详解】 (1) 曲线y=f(x)在点P(x,y)处的法线方程为 ，其中(X,Y)为法线上任意一点的坐标. 令X=0，则，故Q点的坐标为由题设知，即 积分得 (C为任意常数).由知C=1，故曲线y=f(x)的方程为 (2) 曲线y=sinx在[0，]上的弧长为 曲线y=f(x)的参数方程为 故 ，令，则 =九 、（本题满分10分）有一平底容器，其内侧壁是由曲线绕y轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m. 根据设计要求，当以的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以的速率均匀扩大（假设注入液体前， 容器内无液体）.(1) (1)    根据t时刻液面的面积，写出t与之间的关系式；(2) (2)    求曲线的方程.(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)【分析】 液面的面积将以的速率均匀扩大，因此t时刻液面面积应为：，而液面为圆，其面积可直接计算出来，由此可导出t与之间的关系式；又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算，已知t时刻的液体体积为3t，它们之间也可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可.【详解】 (1) 设在t时刻，液面的高度为y，则由题设知此时液面的面积为, 从而 (2) 液面的高度为y时，液体的体积为上式两边对y求导，得 ，即 解此微分方程。