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证明不等式的方法doc第二稿修稿———————————————————————————————— 作者：———————————————————————————————— 日期： 证明不等式的方法李婷婷德宏师专数学系09数〔乙〕 云南芒市 678400摘要： 在我们数学学科中，不等式是十分重要的内容，在初等数学和高等数学中都占有重要位置证明不等式那么是不等式知识中的重要内容，如何证明不等式呢？在本文中，我分别从初等数学和高等数学中总结了一些证明不等式的方法在初等数学中，分别从作差法、构造法、函数法、逆推法、综合法、放缩法、数学归纳法、换元法、三角代换法、判别式法、分解法、作商法等等方法中探讨不等式的证明；在高等数学中，利用柯西不等式、均值不等式、中值定理来探讨证法因题而异，灵活多变，技巧性强通过学习这些证明方法，使我们进一步掌把握不等式证明，可以帮我们解决生活中的许多实际问题关键字：不等式；数学归纳法；函数；单调性不等式的证明可分为推理性问题和探索性问题，推理性问题是指在特定条件下，阐释证明过程，解释内在规律，根本方法有比拟法,分析法，综合法；探索性问题大多是与自然数有关的证明问题，常采用观察—归纳—猜测—证明的方法思路，以数学归纳法完成证明，不等式证明还有三种方法：换元法，构造法，放缩法。

不等式的证明没有固定的程序，证法因题而易，灵活多变，技巧性强其最根本的方法是应用定义及根本性质，并通过代数变换予于证明 1不等式的根本性质不等式的概念：表示不相等关系的式子实数集内的任意两个数总是可以比拟大小的，如果是正数，那么;如果是零，那么；如果是负数，那么反过来也对即有 a≧b这里符号表示等价于这个定义虽然简单，实际它反映不等式的性质许多不等式的证明，是从这个定义出发首先，根据不等式的定义，容易证明下述不等式的简单性质，这些性质是证明其他不等式的根本工具1.2(对称性)1.3假设,,那么(传递性)1.4假设,那么(加法保序性)1.5假设,，那么(乘正数保序性)1.6假设,,那么假设,,.,,那么.1.7假设,,那么1.8假设,,那么1.9假设,1.10假设,,1含绝对值的不等式2假设那么3假设那么符号当且仅当时成立由这个不等式还可以得到另一些常用的不等式：4假设那么符号当且仅当时成立2 证明不等式的根本方法和技巧2.1 比拟法 比拟法是证明不等式的最根本，最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比拟法可分为差值比拟法(简称为求差法)和商值比拟法(简称为求商法)。

作差法在比拟两个实数和的大小时，可借助的符号来判断.步骤一般为：作差——变形——判断〔正号、负号、零〕.变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用定理、公式等. [例子] ,求证：，等号当且仅只当时成立 [分析] 由于要证的不等式关于对称，且式子不复杂，比拟的式子都由字母a，b组成，左右两式存在公因式ab，可考虑用作差法来做，作差判断符号 [证明] 设. 从而原不等式得证显然上面的不等式当且仅时等号成立，故原不等式当且仅当时成立等号[评价] 因为做差法是根据差值的符号来判断，所以在 比拟差值的时候容易出错，一定要慎重2. 作商法在证题时，一般在，均为正数时，借助a或来判断其大小，步骤一般为：作商——变形——判断〔大于1或小于1〕.[例子]，求证：[分析] 先判断不等号两边是否是正数 因为，所以，，这时我们可考虑用作商法来比拟大小，利用对数函数公式，通过变形化简即可判断了 [证明] 由原题得：又因为 所以原式＞1，故命题得证 综合法利用某些已经证明过的不等式〔例如算术平均数和几何平均数的定理〕和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法就是综合法。

[例子]为互不相容的正数，且，求证：[分析] 因为且为互不相容的正数观察前后的式子联想起我们所学的均值定理a+b≥2把1换成abc的形式带入式子，化简之后就得bc+ac+ba,再根据学过的均值定理来构造式子，变形化简可证[证明] 化简过程为：所以故命题得证这样的方法主要靠平时知识的积累和应用放缩法是要证明不等式A

[证明] 不等式成立要证当时不等式成立，即 换元法在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的辅助未知数，使问题的证明到达简化. 主要有两种换元形式1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题，实施的三角代换方法有：①假设，可设；②假设，可设；③对于含有的不等式，由于，可设；④假设，由知，可设其中2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如等)的不等式，考虑用增量法进展换元，其目的是通过换元到达减元，使问题化难为易，化繁为简如，可以用进展换元 [例1] 且 [分析] 在式中有xy≤1不 等式，可联想到上面性质中的第②点：假设，可设，化为三角函数来带入要证明的式子就较为简便[证明] 设那么 判别式法通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判的取值范围，来证明所要证明的不等式. [例子] 设，f(x)=x,f(x)＞0恒成立，求证：-6＜a＜2 [分析] 观察要求证的式子f(x)为二元一次函数，判断二次项系数＞0，函数图像开口向上，要使f(x)＞哦，图像与x轴无交点，即[证明] 要使f(x)=x＞0， 即得：-6＜a＜2.2.7 分解法按照一定的法那么，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的根本问题，以便分而治之，各个击破，从而到达证明不等式的目的.[例子] 求证：[分析] 此题不等号左边为同分子异分母的7个分数和，分母的构造特点是从1开场每相邻两个自然数乘积，符号为加减交替，可利用我们学过的式子来做，使一样式子相消，即可得答案。

[证明] 因为 所以 原式=1-=＜原题得证[评析]只要利用学过的公式来分解式子就更容易了，但这题要注意符号，符号容易出错3利用函数证明不等式 在不等式证明中，我们常常构造函数f(x)，而f(x)构造好后，如果在所给函数区间上无法判断f(x)符号，即当函数不具有单调性时，可以考虑用极值与最值的方法进展证明[例子] 设，求证：. [分析] 此题可构造成一元二次方程的顶点式进展证明[证明] 当时， 当时， 故 .[评析]这题难在于化简f(x)来构造函数，用一元二次方程的顶点式求最值较易当属于某区间，有，那么单调上升；假设，那么 单调下降.推广之，假设证，只须证及即可.[例子] 证明不等式[分析] 所求不等式中有e，构造不复杂，求导数是它本身，这样用求导法来做应容易靠导数求单调性就可把极值求出，即可证明不等式[证明]设那么故当时，>0,严格递增；当时，严格递减又由于在处连续，那么当时从而得证4利用均值不等式什么是均值不等式设是n个正实数，那么，当且仅当时取等号[例子] 当0＜X＜4时，求X〔8-2X〕的最大植[分析] 先判断a,b是否为正数，假设为正数求ab极值时就可用均值不等式来做。

[证明] X(8-2X)=2X(4-X),由于X+(4-X)=4为定值,且依题意有X＞0,4-X＞0,故可用均植定理求最值.因为0＜X＜4,所以X＞0,4-X＞0,所以：当且仅当, X=4-X,即X=2时，X(8-2X)取最大值8[评价] 要注意变形，假设不把8-2x里的公因式2提出，利用均值不等式时并不能把x消去，就求不出极值参考文献［1］李长明,周焕山.初等数学研究[M].北京:高等教育出版社,1995,253-263.［2］叶慧萍.反思性教学设计-不等式证明综合法[J].数学教学研究,2005,10(3):89-91［3］张顺燕 数学的思想、方法和应用［M］北京：北京大学出版社2003［4］数学分析.华东师范大学数学系(第三版)[M].北京:高等教育出版社,1999,87.［5］李海港，张传法. 利用均值不等式求最值的技巧［M］.学术期刊:高中数理化〔高二〕GAOZHONG SHU-LI-HUA2007年第1期[6]霍连林.著名不等式[M].北京:中国物质出版社,1994,123-124.谢辞在论文的准备和写作过程中，感谢我的指导教师，他知识渊博，而且他有着严肃的科学态度、严谨的治学精神和精益求精的工作作风，这些都深深地感染和鼓励着我，使我受益颇深。

从论文题目的选定到论文写作中的指导，教师始终给予我悉心的指导和不懈的支持在此由衷地感谢教师在我的论文上倾注的大量心血同时，我也要感谢我的其他教师和同学们，是他们给予我的帮助让我走过大学的风风雨雨，在那些最艰辛的日子里是他们鼓励我、鼓励我，让我发奋图强.。