高考八大高频考点例析教学案北师大版选修.pdf

想“在空间直角坐标系中，球心在原点、半径为r的球面的方程为第五章 数系的扩充与复数的引入高考八大高频考点例析对应学生用书P52归纳与类比考查方式归纳与类比是最常见的合情推理，是近几年高考的热点，归纳、类比推理大多数出现在填空题中，为中、低档题，突出了“小而巧”，主要考查类比、归纳推理能力. 备考指要1?归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，归纳的特例越多，归纳出的共性就越可靠；类比推理是由特殊到特殊的推理，一般情况下，类比的相似性越多，类比得到的结论就越可靠. 2.解答此类问题，需要细心观察，寻找它们内在的关系，冋时还要联系相关知识，合情推理得到的结论不一定正确考题印证 例 1(陕西高考)观察下列等式12= 1 2 2 1 2 =- 3 12 22+ 32= 6 12 22+ 32 42= 10 照此规律，第n个等式可为_ 2 2 2 2 n +1 2 n +n个式子为1 2 + 3 4+?+ ( 1) n = ( 1)1n n+ 1 跟踪演练 2答案 2 2 2 2 1 2 + 3 4 n + 1 2 (1) n= ( 1) n+1 nn+1 2 解析 观察规律可知，第想“在空间直角坐标系中，球心在原点、半径为r的球面的方程为1. 类比“在平面直角坐标系中，圆心在原点、半径为r的圆的方程为x2+ y2= r2”，猜解析：类比平面直角坐标系中圆的方程，从形式上易得空间直角坐标系中球面的方程为2 2 2 2 x + y + z = r . 答案：x2+ y2+ z2= r22 . (湖北高考)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3443,94249 等.显然 2 位回文数有9 个：11,22,33 ， 99.3 位回文数有90 个： 101,111,121 ， 191,202 ，999.则(1) 4 位回文数有_ 个；(2) 2 n+1(n? Nk)位回文数有 _ 个. 解析： 2 位回文数有 9 个， 4 位回文数与 3 位回文数个数相等，都有9X 10= 90 个?而每一个 4位回文数都对应着10 个 5 位回文数，故5 位回文数有9X 10X 10= 100X9个，可 推出 2n+1(n? N+)位回文数有 9X 10n个. 答案： 90 9X 10n3. 观察下列等式：(1 + 1) = 2X12 (2 + 1)(2 + 2) = 2 X 1X33 (3 + 1)(3 + 2)(3 + 3) = 2 X 1X 3X5照此规律，第n个等式可为_ .解析：观察规律可知第n个等式可为：(n+ 1)( n+ 2)( n + 3) ?(+ n) = 2n? 1 ? 3 ? 5(2 n- 1). 答案：(n+ 1)( n+ 2)( n+ 3) ?( + n) = 2nX 1X 3X 5X? ? ?X (2 n- 1) 直接证明与间接证明考查方式咼考中直接证明主要考查立体几何中的平行与垂直、等差或等比数列、函数与不等式的证明等问题，题型多以解答题为主；高考直接考查反证法的题目并不多，但大多作为证明和判断一些命题的方法，隐含于试题中. 备考指要在备考中，要分清综合法、分析法和反证法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决问题的类型?数学归纳法是证明与正整数有关的命题的方法，应用时要严格按照两个步骤论述考题印证 例 2(陕西高考)设an是公比不为 1 的等比数列，其前n项和为S,且a5, a3, a4成等差数列 . 求数列 an的公比 ; 证明：对任意k ? N+, S+ 2, Sk, S+1成等差数列 . 解(1)设数列 an的公比为q(qz0, q* 1)，由a5, a3, a4成等差数列 , 2 4 3 + a4, 即卩 2ag = ag + ag , 2 由a1 工 0, q *0 得q + q 2=0,2 a3 = a5 解得 qi = - 2, q2= 1(舍去)，所以q= 2.(2)证明：法一：对任意k? NU, Sk+2+ S + 1 2Sk =(Sk+ 2Sk) + ( Sk+ 1 S) =ak+i + ak+2+ ak+1=2ak+1+ ak+1 ? ( 2)所以，对任意k? N+ , S+2, S,S+1成等差数列法二：对任意2a11 qkk? N+, 2Sk= 1 q , a1Sk+ 2+ Sk+ 1 = k+ 2q +a1k+1q1 q k+ 2 k+ 1 a1 q q q ，2Sk ( Sk +2 + Sk + 1) 2a1 1 qka1 1q k+2 k+1 q q 1 q a1k k+ 2 k+ 1、i =厂q1q)(2 q q )】1qk ag 2 =v(q + q 2) = 0, 1q因此，对任意k? N+, S+2, $, $+1成等差数列 . 跟踪演练 5 整除”时，假设的内容应为()=0, ?/ PBA=Z BEA ?/ PBAFZ BAE=Z BEAM BAE= 90 ,? PBL AE ?/ PAL平面ABCD PA 平面APEB ?平面ABC! 平面APEB?/ BCL AB 平面ABCQ 平面APET AB,B. a, b都不能被 5 整除C. a不能被 5 整除D. a, b中有一个不能被5 整除解析：“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即答案： Ba，b都不能被 5 整除. 5. 如图，几何体ABCDE中，底面ABCD是边长为 4 的正方形，PA平面ABCD PA/ EB且PA= 2BE= 4 2. 证明：BD/平面PEC 若G为BC上的动点，求证 : AE! PG 证明：连接AC交BD于点0,取PC的中点F, 连接OF, EF1 ?/ EB/ PA 且EB= ?PA 1 又OF/ PA 且0F= 2PA ? EB/ OF 且EB= OF ?四边形EBOF为平行四边形 , ? EF/ BD又? EF 平面PEC BD 平面PEC ? BD/平面PEC 亠丄亠EB BA 连接BP- AETBA箱,/ EBA=Z BAP= 90 ,? B?平面APEB. BdAE ? AE!平面PBC ?/ G为BC上的动点，? PG 平面PBC ? AE! PG 6. 等差数列 an的前n项和为S, ai = 1 + 2, 9+ 3 2.(1)求数列 an的通项an与前n项和S；S1设bn = n(n? N+)，求证：数列 bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列. ai = + 1, 解: (1)由已知得 丿厂”3a1 + 3d = 9+ 32, 故an= 2n 1 + . ；： 2, Sn = n( n+ J 2). S证明：由 (1)得bn= = n+ 2.假设数列 bn中存在三项bp, bq, br(p, q, r互不相等)成等比数列，则b；= bpbr, 即(q+ 2)2= (p+ 2)( r + 2), ? (q2- pr) + (2q-p-r) 2= 0, ? p, q, r ? N+,匚2 q -pr = 0, 2q- p- r = 0, ? p= r, 与pz r矛盾 . ?数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列. S 一7. 已知点Pn( an , bn)满足8n+ 1 =金?bn+ 1 , bn + 1= 了门?N+)，且点P的坐标为 (1 , - 1). (1) 求过点P1, P2的直线l的方程；(2) 试用数学归纳法证明：对于n? N+, 点 R 都在 (1)中的直线I 上. 解：(1)由题意，有a1 = 1, b1=- 1, ? d= 2.-1 b2= = 14X1 1 1 1 1 3, a2=1X3=宓 3, 3 ?直线I的方程为y+ 11 1+ 1即 2x+ y = 1.证明：当n = 1 时，2ai + b = 2 x 1+ ( 1)= 1 成立. 假设n = k(kl且k ? N+)时，2ak+ bk= 1 成立. bk 1 2ak = = = 11 2ak 1 2ak . ?. 当n= k+ 1 时，命题也成立 . 由知，对于n? N+, 都有 2an+ bn= 1，即点Pn在直线I上.考查方式从近几年的高考试题分析，对该部分内容的考查，主要是利用导数的几何意义求切线方程，导数的有关计算，尤其是简单的复合函数求导；题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等左右，在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查解析几何的相关知识. 备考指要利用导数的几何意义求切线方程时，关键要搞清楚所给的点是不是切点，注意区分“在某点处的切线方程”与“过某点的切线方程”的区别. 导数的运算要熟练掌握基本函数的导数及导数的四则运算法则考题印证 In x 例 3(北京高考)设L为曲线C: y = - 在点(1,0)处的切线 . x (1) 求L的方程；(2) 证明：除切点 (1,0) 之外，曲线C在直线L的下方 . In x 1 一 in x 解(1)设f (x)=二，贝 y f (x) = 一x . z. z.所以f (1) = 1, 即L的斜率为 1.又L过点(1,0) ，所以L的方程为y = x 1.(2)证明：令g(x) = x 1 f (x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)0( ? x0, x丰 1).则 2ak+1 + bk+1 = 2ak ?bk+ 1 + bk+1 =bk 1 - 4a2(2 ak+ 1) 导数的几何意义及运算g( x)满足g(1) = 0,2 ，x 1 + In x且g (x) = 1f (x)=2 . 当 0 vxv 1 时，x 1 v 0, In xv 0, 所以g(x) v 0，故g( x)单调递减 ; 当x 1 时，x2 1 0, In x0, 所以g(x) 0, 故g(x)单调递增 . 所以，g(x) g(1) = 0(? x0,跟踪演练 值范围是A. (汽0 C. 2,1 解析：y =|f(x)|的图像如图所示，y = ax为过原点的一条直线, 当a0 时，与y = |f(x)|在y轴右侧总有交点，不合题意?当a= 0 时成立. 当a0 时，有k a0, 其中k是y =| x2+ 2x|在原点处的切线斜率，显然k= 2, 于是一 2 a0), 所以f(x) = 1 + -, 所以f (1) x=2. 答案： 2b-Q利用导数研究函数的单调性所以除切点之外，曲线C在直线L的下方 . & (新课标全国卷I )已知函数f (x) = *二 2 x + 2x, In x+1 xw 0, ,x0.若|f(x)lax，则a的取1 D. 2,0 考查方式利用导数研究函数的单调性是导数最重要的应用之一. 主要考查求函数的单调区间、证明或判断函数的单调性，在高考命题中，三种类型均有可能出现，若以选择题或填空题的形式出现，难度则以中、低档为主，若以解答题形式出现，难度则以中等偏上为主.备考指要利用导数研究函数的单调性，其方法是研究不等式f (x)0或f (x) W0解的情况，应注意f (X)= 0 不能恒成立 ?在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，只能在定义域内，通过讨论导数的付号，来确疋函数的单调区间. 特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“ U ”连接 .考题印证 例 4(新课标全国卷n )已知函数f(x) = ex- In( x+ m). 设x= 0 是f(x)的极值点，求m并讨论f (x)的单调性；(2)当mC2 时，证明f (x)0. x 1 解(1)f(x)= e - 齐由x = 0 是f (x)的极值点得f (0) = 0，所以 m= 1.于是f (x) = ex- ln( x + 1)，定义域为(1 ,+ ), f(x) = ex x + 1 1 函数f(x) = ex在(1, )上单调递增且f (0) = 0, 因此当x ? ( 1,0)时, f ( x)0. 所以f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,+ )上单调递增 . (2)证明：当rmc 2 , x ? ( m +m)时，ln( x + m 。