九年级数学竞赛培优专题及答案 25 平面几何的最值问题.doc

专题25 平面几何的最值问题 阅读与思考 几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值． 求几何最值问题的基本方法有： 1．特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证． 2．几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理．3．数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等．例题与求解【例1】在Rt△ABC中，CB=3，CA=4，M为斜边AB上一动点．过点M作MD⊥AC于点D，过M作ME⊥CB于点E，则线段DE的最小值为 ．（四川省竞赛试题）解题思路：四边形CDME为矩形，连结CM，则DE= CM，将问题转化为求CM的最小值． 【例2】如图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=10cm．若在AC，AB上各取一点M，N，使BM+MN的值最小，求这个最小值．（北京市竞赛试题） 解题思路：作点B关于AC的对称点B′，连结B′M，B′A，则BM= B′M，从而BM+MN= B′M+MN．要使BM+MN的值最小，只需使B′M十MN的值最小，当B′，M，N三点共线且B′N⊥AB时，B′M+MN的值最小．【例3】如图，已知□ABCD，AB=a，BC=b()，P为AB边上的一动点，直线DP交CB的延长线于Q．求AP+BQ的最小值． （永州市竞赛试题） 解题思路：设AP=，把AP，BQ分别用的代数式表示，运用不等式以或a+b≥2（当且仅当a=b时取等号）来求最小值．【例4】阅读下列材料： 问题 如图1，一圆柱的底面半径为5dm，高AB为5dm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到C点的最短路线． 小明设计了两条路线： 路线1：侧面展开图中的线段AC．如图2所示． 设路线l的长度为l1，则l12 =AC2=AB2 +BC2 =25+(5π) 2=25+25π2． 路线2：高线AB十底面直径BC．如图1所示． 设路线l的长度为l2，则l22 = (BC+AB)2=(5+10)2 =225． ∵l12 – l22 = 25+25π2－225=25π2－200=25(π2－8)，∴l12 ＞l22 ，∴ l1＞l2 ． 所以，应选择路线2．(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1分米，高AB为5分米”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算： 路线1：l12=AC2= 25+π2； 路线2：l22=（AB+BC）2= 49．∵ l12 l22，∴l1＜ l2（填“＞”或“＜”），所以应选择路线 1（填“1”或“2”）较短．(2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短． （衢州市中考试题） 解题思路：本题考查平面展开一最短路径问题．比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便．比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．【例5】如图，已知边长为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF=2，BF=1．为了合理利用这块钢板，将在五边形EABCD内截取一个矩形块MDNP，使点P在AB上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率． （中学生数学智能通讯赛试题）解题思路：设DN=x，PN=y，则S=．建立矩形MDNP的面积S与x的函数关系式，利用二次函数性质求S的最大值，进而求钢板的最大利用率．【例6】如图，在四边形ABCD中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90，BC，AD的延长线交于P，求ABS△PAB的最小值． （中学生数学智能通讯赛试题）解题思路：设PD=x(x>1)，根据勾股定理求出PC，证Rt△PCD∽Rt△PAB，得到，求出AB，根据三角形的面积公式求出y=ABS△PAB，整理后得到y≥4，即可求出答案．能力训练A级1．如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形．容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是 ． （烟台市中考试题） 2．D是半径为5cm的⊙O内一点，且OD=3cm，则过点O的所有弦中，最短的弦AB= cm． （广州市中考试题）3．如图，有一个长方体，它的长BC=4，宽AB=3，高BB1=5．一只小虫由A处出发，沿长方体表面爬行到C1，这时小虫爬行的最短路径的长度是 ． （“希望杯”邀请赛试题） 第1题图 第3题图 第4题图 第5题图 4．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是( ) （兰州市中考试题）A．4 B．4.75 C．5 D．4.8 5．如图，圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为2．一小虫在圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A，则小虫所走的最短距离为( ) （河北省竞赛试题） A．12 B．4π C．6 D．6 6．如图，已知∠MON= 40，P是∠MON内的一定点，点A，B分别在射线OM，ON上移动，当△PAB周长最小时，∠APB的值为( ) （武汉市竞赛试题） A．80 B．100 C．120 D．140 7．如图，是以等边三角形ABC一边AB为半径的四分之一圆周，P为AD上任意一点．若AC=5，则四边形ACBP周长的最大值是( ) （福州市中考试题） A．15 B．20 C．15+5 D．15+5 第6题图 第7题图 第8题图 8．如图，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD边上一点（点E与点A，D不重合），BE的垂直平分线交AB于M，交DC与N． (1) 设AE=x，四边形ADNM的面积为S，写出S关于x的函数关系式．(2) 当AE为何值时，四边形ADNM的面积最大？最大值是多少？ （山东省中考试题） 9．如图，六边形ABCDEF内接于半径为r的⊙O，其中AD为直径，且AB=CD=DE=FA． (1) 当∠BAD=75时，求的长； (2) 求证：BC∥AD∥FE； (3) 设AB=，求六边形ABCDEF的周长l关于x的函数关系式，并指出x为何值时，l取得最大值． 10．如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点（P异于A、D）．Q是BC边上任意一点．连结AQ，DQ，过P作PE∥DQ交于AQ于E，作PF//AQ交DQ于F． (1) 求证：△APE∽△ADQ； (2) 设AP的长为x，试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S△PEF取得最大值？最大值为多少？(3) 当Q在何处时，△ADQ的周长最小？（须给出确定Q在何处的过程或方法，不必证明） （无锡市中考试题） 11．在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M，N分别在两腰AB，AC上(M不与A，B重合，N不与A，C重合)，且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P． (1)当MN为何值时，点P恰好落在BC上？ (2)设MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式，当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？ （宁夏省中考试题）B级1．已知凸四边形ABCD中，AB+AC+CD= 16，且S四边彤ABCD=32，那么当AC= ，BD= 时，四边形ABCD面积最大，最大值是 ． （“华杯赛”试题）2．如图，已知△ABC的内切圆半径为r，∠A=60，BC=2，则r的取值范围是 ．（江苏省竞赛试题） 第2题图 第3题图 第4题图 第5题图 3．如图⊙O的半径为2，⊙O内的一点P到圆心的距离为1，过点P的弦与劣弧组成一个弓形，则此弓形面积的最小值为 ．4．如图，△ABC的面积为1，点D，G，E和F分别在边AB，AC，BC上，BD＜DA，DG∥BC，DE∥AC，GF∥AB，则梯形DEFG面积的最大可能值为 ．（上海市竞赛试题）5． 已知边长为a的正三角形ABC，两顶点A，B分别在平面直角坐标系的x轴，y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连结OC，则OC的最大值是 ．（潍坊市中考试题）6．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+ PD取最小值时，△APD中边AP上的高为( ) （鄂州市中考试题）A． B． C． D．3 第6题图 第7题图 第8题图 7．如图，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B，C重合的任意一点，连结AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q．设BP的长为xcm，CQ的长为ycm． (1) 求点P在BC上运动的过程中y的最大值； (2) 当y=cm时，求x的值． （河南省中考试题） 8．如图，y轴正半轴上有两点A(0，a)，B(0，b)，其中a>b>0．在x轴上取一点C，使∠ACB最大，求C点坐标． （河北省竞赛试题） 9．如图，正方形ABCD的边长为1，点M，N分别在BC，CD上，使得△CMN的周长为2．求： (1) ∠MAN的大小；(2) △MAN的面积的最小值． 。