高中数学易错题举例解析.docx

感谢你的观看感谢你的观看高中数学易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却 很容易被忽略也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误本文 通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助加强思维的严密性训练•忽视等价性变形，导致错误x>0 x + y>0 但y>0 xy>0 ，一x>1y>2x + y>3 xy>2不等价一 一 _ ， x【例1】已知⑼=ax + bf(1) 0,3 f(2)6,求f(3)的范围3 a b 0 ①3 2a b 6 历错误解法由条件得 2 ②②X2—① 6 a 15 ③8 b 2①X 2—②得 3 3 3 ④10 3 b 43③+④得 3 * 3 3f(3)433错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f(x) axb，其值是同时受a和b制约的当a取最大(小)值时，b不一定取最大(小) 值，因而整个解题思路是错误的f (1) a b正确解法f (2) 2a 由题意有b2,解得:b 16 5f(3) 3a 3 6 f ⑵ 9f(1).把f⑴和f(2)的范围代入得在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。

只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题•忽视隐含条件，导致结果错误例2】2 2 2⑴ 设、 是方程x 2kx k 6 0的两个实根，则(1) ( 1)的最小值是(A) 49 (B) 8 (C) 18 (D)不存在4思路分析 本例只有一个答案正确，设了 3个陷阱，很容易上当利用一元二次方程根与系数的关系易得： 2k， k 6，49有的学生一看到 Z ,常受选择答案(A)的诱惑，盲从附和这正是思维缺乏反思性的体现如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别， 就能从中选出正确答案一 2原方程有两个实根、4k 4(k 6) 0 k 2或k 3.2 2当k 3时，(1) ( 1)的最小值是8;/\2 ..2当k 2时，(1) ( 1)的最小值是18这时就可以作出正确选择，只有(B)正确2)已知(x+2) 2+ y42 =1,求x2+y2的取值范围8 28错解 由已知得 y2=— 4x2- 16x-12,因止匕 x2+y2=-3x2-16x- 12=-3(x+ 3)2+3 ,・二当x=-1时，x2+y2有最大值胃,即x2+y2的取值范围是(一°°, § ］ 03 3 3分析没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。

事实上，由于(x+2) 2+ y4 =1 (x+2) 2=1 — y4 < 1 —30,三角函数一1 &sinx & 1,指数函数ax>0,圆锥曲线有界性•忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误例3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1, 求(a+ - ) 2+(b+9)2的最小值 a b11 11 2 - 1错解(a+— — ~2 — a ab ?—a)2+(b+b )2=a2+b2+a +b +4>2ab+ab +4>4 ■ ab+4=8,；(a+ a)2+(b+b)2的最小值是 8.分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式a2+b2> 2ab,第一次等号成立的条件是a=b=1 12 ,第二次等号成立的条件是ab=Ob ,显然，这两个条件是不能同时成立的因此，8不是最小值1 1 1 1 1 11 ，.V 2 0 2.2 O O 2,2 O . 9事实上，原式= a2+b2+a +b +4=( a2+b2)+( a +b )+4=[(a+b) 2 —2ab]+[( a+b)2—2ab ]+412 . 2=(1 — 2ab)(1+ a b )+4,1~2, 21 + a b >17,a b 1 1 1 1f -~ )二 ，i 二 二 一 ~2. 2由 ab0 ( 2 )2=4 得：1—2ab>1— 2 = 2,且ab >16,1 25•••原式》2 x 17+4= 2 (当且仅当a=b=2时，等号成立)，1 1(a + a)2 + (b + b )2的最小值是 25 。

・不进行分类讨论，导致错误【例4】⑴已知数列an的前n项和4 2n 1 ,求a”，错误解法 an Sn S”1 (2n D (2n1 1) 2n 2n1 2n 11 1 ,错误分析 显然，当n 1时，a1 S1 3 2 k错误原因：没有注意公式an Sn Sn1成立的条件是因此在运用anSn Sn1时，必须检验n 1时的情形即:S1 (n 1)Sn (n 2,n N)2(2)实数a为何值时，圆x2 1一2 2 y -xy 2ax a 1 0与抛物线 2有两个公共点2错误解法将圆x2 12 2 y — xy 2ax a 1 0与抛物线 2联立，消去y,2 1x (2a )x得 21 0 (x0).12a 02 17一 2 a —因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得 a 1 0. ,解之得 8错误分析 （如图2 — 2—1; 2 — 2 — 2）显然，当a 0时，圆与抛物线有两个公共a 2 2 2 y — x因此，当 8或1 a 1时，圆x y 2ax a 1 0与抛物线 2有两个公共点02 12 2 2 y — X思考题：实数a为何值时，圆x y 2ax a 1 0与抛物线 2 ,（1）有一个公共点；（2）有三个公共点；（3）有四个公共点；（4）没有公共点。

•以偏概全，导致错误以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部 答案，从而表现出思维的不严密性例5】（1）设等比数列an的全n项和为&.若S3 S6 2s9,求数列的公比q.3 6 9a1（1 q ） a1（1 q ） 2 a1（1 q ）错误解法 S3 s62s9, 1 q 1 q 1 q ,6 3 3 3 ' 4由 q 0 得万程 2q q 1 0. （2q 1）（q 1） 0, q ——或 q 12 oa1（1 q3） a« q6） 2 a1（1 q9）错误分析在错解中，由1 q 1 q 1 q ,整理得q3（2q6 q3力=0时，应有a1 和q 1在等比数列中，ai 0是显然的，但公比q完全可能为1,因此，在解题时应先讨 论公比q 1 1dk —. y — x 1.直线与抛物线仅有一个交点， 0，解得 2 所求直线为 2错误分析此处解法共有三处错误：第一，设所求直线为y kx 1时，没有考虑k 0与斜率不存在的情形，实际 上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况， 只考虑相交的情况。

原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即 k 0，而上述解法没作考虑，表现出思 维不严密正确解法 ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直 x轴，因为过点（0，1）,的情况，再在q 1的情况下，对式子进行整理变形正确解法 若q 1,则有S3 3a1,S6 6a1,S9 9a1.但ai 0,即得S3 S6 2S9,与 题设矛盾，故q 1. 3 6 9a1（1 q ） a1 （1 q ） 2 a1（1 q ）又依题意 S3 s6 2s9 1 q 1 q 1 q q3（2q6 q3 力=0,343 3 3 3 q .即（2q 1）（q 1） 0，因为q 1,所以q 1 0,所以2q 1 0.解得 2说明 此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解 法，根据评分标准而痛失2分 2（2）求过点（0，1）的直线，使它与抛物线y 2x仅有一个交点错误解法 设所求的过点1）的直线为y kx 1,则它与抛物线的交点为y kx 1 2 2 2 2y 2x ,消去 y 得（kx 1） 2x 0.整理得 k x （2k 2）x 1 0.2所以x 0,即y轴，它正好与抛物线y 2x相切。

②当所求直线斜率为零时，直线为 y = 1平行x轴，它正好与抛物线y2 2x只有一个交点③一般地，设所求的过点y2（0,1）的直线为y kx 1（k °）,则ykx 12 2 - -k x (2k 2)x 1 0.令一 10,解得k = 2 ,y..所求直线为2x,lx 1.2综上，满足条件的直线为:y 1, x 0, y《章节易错训练题》1、已知集合M= ｛直线｝ , N = ｛圆｝，则MA N中元素个数是(A)或2(B) 0A（集合元素的确定性）（C） 0 或 2 （D） 0 或 12、已知 A = {x | x2 + tx + 1 = 0 }，若 An R* =，则实数集合T =tt 24、命题A： x值范围是(A) (4,(B) 4,(C) ( ，3 4)5、若不等式c . 1X2— logax<0在（0, 2 ）内包成立，则实数a的取值范围是A（等号）1(A) [ 16 ,1) (B) (1, + )1©院,1)1(D) ( 2 ,1) U (1,2)6、若不等式（—1）na(-1)n + 1< 2 + 1 对于任意正整数n包成立，则实数a的取值范(空集)3、如果kx2+2kx—(k+2)<0恒成立，则实数k的取值范围是C(等号)(A) -1

时，f（x） 0；对于任意递减区间(一，一1)和(一?[—巾，—1)(定义的实数x、y都有f(x y) f(x) f(y)证明：f(x)为奇函数特殊与一般关系)8、已知函数f(x)= 三1x ,则函数f(x)的单调区间是 x+ I1, +)(单调性、单调区间)9、函数y = 7 log0. 5(x2―F 的单调递增区间是域)log 2(x+2)10、已知函数f ( x)= x x- 1x>0x— f 14、函数y = sin x (1 + tan x tan 5 )的取小正周期是 C (止义域)的反函数 f 1(x)=一2x—2 x>1x 0