排列与排列数公式.docx

排列与排列数公式1.排列1 1) 一般地，从n个不同元素中取出 mmc n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m个元素的一个排列.(2)两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全相同，且元素的排列顺序也相同.排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素”，二是“按一定顺序排列”.因此，排列要完成的“一件事”是“取出m个元素，再按顺序排列”，“一定的顺序”就是与位置有关，不考虑顺序就不是排列.2 .排列数及排列数公式排列数定义从n个小同兀素中取出m m^ n)个兀素的所有/、同排列的个数叫做从n个不向兀素中取出m个兀素的排列数表小法Am全排列n个不同兀素全部取出的一个排列，叫做n个兀素的一个全排列，这日公式中 m= n,即有An= nx ( n—1) x ( n — 2) X …X 3X2X1阶乘正整数从1至Un的连乘积叫做n的阶乘，用n!表示排列数公式乘积式Am= n( n — 1)( n—2)n — m+ 1)阶乘式mn!An= /x .(n— m) !性质nAn = n_!_,0! =1备注- .*n, mE N , me n排列数是指“从n个不同的元素中取出 m个元素的所有排列的个数”，即排列共有多少种形 式，它是一个数.因此，A只代表排列数，而不表示具体的排列.Q判断正误(正确的打“，”，错误的打“x”)1 1) a, b, c与b, a, c是同一个排列.()(2)同一个排列中，同一个元素不能重复出现.()(3)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化.()(4)从4个不同元素中任取三个元素，只要元素相同得到的就是相同的排列.()答案：(1) X (2) V (3) X (4) X@下面问题中，是排列问题的是 ()A.由1, 2, 3, 4四个数字组成无重复数字的四位数B.从60人中选11人组成足球队C.从100人中选2人抽样调查D.从1, 2, 3, 4, 5中选2个数组成集合答案：A凰 a 4=, a3=.答案：12 60 若 Am)= 10X9X …X5,则 m=.答案：6探究点1排列的概念例团 判断下列问题是否是排列问题，并说明理由.(1)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动，其中一名同学参加活动A,另名同学参加活动B;(2)从甲、乙、丙、丁四名同学中选出两名参加一项活动；(3)从所有互质的三位数中选出两个数求其和；(4)从所有互质的三位数中选出两个数求其商；(5)高二(1)班有四个空位，安排从外校转来的三个学生坐到这四个空位中的三个上.【解】(1)是排列，因为选出的两名同学参加的是不同的活动，即相当于把选出的同学按顺序安排到两个不同的活动中.(2)不是排列，因为选出的两名同学参加的是同一个活动，没有顺序之分.(3)不是排列，因为选出的两个三位数之和对顺序没有要求.(4)是排列，因为选出的两个三位数之商会因为分子、分母的顺序颠倒而发生变化，且这些三位数是互质的，不会产生选出的数不同而商的结果相同的可能性，故是排列.(5)是排列，可看作从四个空位中选出三个座位，分别安排给三个学生.判断一个具体问题是否为排列问题的方法〔一操元不的仇视〕国力电「措加阈回鼐孤画跟踪调馀1.从1, 2, 3, 4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有几种运算可以看作排列问题()A. 1C. 3B. 2D. 4解析：选B.因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题.而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题.2 .判断下列问题是否是排列问题：(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？解：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题.(2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题.(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题.综上，(1)、(3)是排列问题，(2)不是排列问题.探究点2排列的列举问题例团 四个人A, B, C, D坐成一排照相有多少种坐法？将它们列举出来.【解】 先安排A有4种坐法，安排B有3种坐法，安排C有2种坐法，安排D有1种坐法, 由分步乘法计数原理，有 4X 3X2X1= 24种.画出树形图：由“树形图”可知， 所有坐法为 ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ADCB BACD BADC BCADBCDA BDAC BDCACABD CADB CBAD CBDA CDAB CDBA DACB DABC DBAC DBCA DCABDCBA1 .［变条件］若本例条件再增加一条“ A不坐排头”，则结论如何?解：画出树形图:由“树形图”可知， 所有坐法为 BACD BADC BCAD BCDA BDAC BDCA CABD CADB CBAD CBDA CDAB CDBA DACB DABC DBAC DBCA DCAB DCBA 共 18 种坐法.2 .［变条件］若在本例条件中再增加一条“ A, B不相邻”，则结论如何？解：画出树形图：/AH .n<8-C-A由“树形图”可知， 所有坐法为 ACBD ACDB ADBC ADCB BCAD BCDA BDAC BDCA CADBCBDA DACB DBCA^ 12 种.利用“树形图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树形图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式.(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏， 然后再按树形图写出排列.探踪调馀某药品研究所研制了 5种消炎药a, a2, a3, a，，a5, 4种退热药b1,戾，5, b4,现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但ab a2两种药或同时用或同时不用，a3, b，两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法.解：如图，同时用(4W9同对不用由树形图可写出所有不同试验方法如下:叫用 5不用JMJ (lx 4种 Ja1a2b1, a〔a2b2, a〔a2b3, aa2b4, a3a4b1, a3a4b2, a3a4b3,a3a5b1, a3a5b2, a3a5b3, a4a5b, a4a5b2, a4a5b3, a4a5b4, 共 14 种.探究点3排列数的计算或证明例叵(1)2A5+7A8. 计方78=A"'(2)求证:m m m-1An+ 1 — An = mAn .2X8X7X6X5X4+7X8X7X6X58X7X6X5X4X3X2X1—9X8X7X6X58X7X6X5X ( 8+7)-z z z ■ -~~= 1.8X7X6X5X ( 24 — 9)(2)法一：因为 Am+1 —Am(n+1) !n!(n+ 1 — mj ! (n— m) !n!(n— ml) !n+1―1)n+1—m /n!mn+ 1 —mn!=m ♦(n+ 1 — m) !mmm-1所以 An + 1 -An = mAn .法二：Am+1表示从n+1个元素中取出 m个元素的排列个数，其中不含元素a1的有Am个.含有a1的可这样进行排列: 先排白,有m种排法，再从另外n个元素中取出mv 1个元素排在剩下的 mH 1个位置上，有AmT种排法.故 Am+ 1 = mC 1 + Am,m-1mm所以 mAn = An+1 - An.排列数公式的形式及选择方法排列数公式有两种形式,一种是连乘积的形式，另一种是阶乘的形式，若要计算含有数字的排列数的值，常用连乘积的形式进行计算，而要对含有字母的排列数的式子进行变形或作有关的论证时，一般用阶乘式.跟踪调爆 1Am2=9X10X11X12,则 m=(B. 4A. 3C. 5D. 6解析：选B.等式Am2= 9X10X11X12的右边是4个连续自然数的乘积，且最大数为12,故m= 4.2.下列各式中与排列数 A相等白^是()n!A.- -(m- n) !B.n( n— 1)( n-2) •••( n— m)n n 1C. Ann- 1D.An-醴 1解析：选D.因为口号丁，(n—1) ![n- 1 - ( m- 1) ] !(n—1) !n!=n ♦ = .(n— nj ! (n- m) !所以 Am= A • Am1 1.1. 4x 5X 6X---X (n—1)Xn 等于()A. AnB.ATC. n! - 4!D.An 3解析：选D.4X5X6X…x (n —1)xn中共有n—4+1 = n—3个因式，最大数为n,最小数为4,故 4X5X6X…x( n— 1) X n= An 3.2.从1, 2, 3, 4这四个数字中任取两个不同的数字，则可组成不同的两位数有A. 9个B. 12 个C. 15 个D. 18 个解析：选B.用树形图表示为:由此可知共有12个.A43. 一5!解析:4X3X25! 5X4X3X2X115.知识结构1答案：占54.从0, 1, 2, 3这四个数字中，每次取出 3个不同的数字排成一个三位数，写出其中大于200的所有三位数.解：大于200的三位数的首位是 2或3,于是大于200的三位数有：201, 203, 210, 213,230, 231, 301 , 302, 310, 312, 320, 321.深化拓展1 .判断一个问题是否是排列的思路排列的根本特征是每一个排列不仅与选取的元素有关，而且与 元素的排列顺序有关.这就是说，在判断一个问题是否是排列 时，可以考虑所取出的元素，任意交换两个，若结果变化，则 是排列问题，否则不是排列问题.2 .排列数两个公式的选取技巧(1)排列数的第一个公式 Am= n(n— 1)( n—2) ・••( n- m4-1)适用m 已知的排列数的计算以及排列数的方程和不等式.在运用时要 注意它的特点，从 n起连续写出m个数的乘积即可.3 2)排列数的第二个公式 Am1= / n］，用于与排列数有关的 n— mj证明、解方程、解不等式等，在具体运用时，应注意先提取公 因式再计算，同时还要注意隐含条件" n、me N*, me n”的运 用.［易错提醒］ 公式中的n, m^该?^足n,N*, m< n,当m>n时不成立.［A基础达标］1.已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动；③从 a, b, c, d中选出3个字母；④从1, 2, 3, 4, 。