量子力学教程第三十讲.ppt

第三十讲,7.7 全同粒子体系的波函数， 泡利原理,,,1.知道多粒子体系波函数的构成方法和条件 2. 掌握多粒子体系波函数的对称性，及两种 不同粒子的对称性学习内容,重点难点,重点,§7.7 全同粒子体系的波函数，泡利原理,一、两粒子体系,在不考虑粒子间相互作用时，体系的哈米顿算符,以 和 表示 的第i个本征值和本征函数，则单粒子的本征值方程为：,体系的哈米顿算符的本征值方程为：,能量值仍为 是简并的，这种简并称为交换简并如果两粒子处于同一状态，,则（7.7-4）和（7.7-6）给出同一个对称波函数,如果两粒子处于不同状态，,则（7.7-4）和（7.7-6）式的函数既不对称，也不反对称，故不符合全同粒子体系波函数的要求这表明（7.7-4）和（7.7-6）两式所表示的函数，只能部分满足全同粒子体系对波函数的要求，不能完全满足，故不能作为全同粒子体系的波函数但由（7.7-4）和（7.7-6）两式的和、差可以构成对称函数 和反对称函数 玻色系统：,费米系统：,泡利原理,对玻色子系统，波函数取形式 ，当两个玻色子处于同一个状态时 ，这时 ，故几率密度 ，所以允许。

对于费米系统，波函数取 形式，当两费米子处于同一个状态时 ，故使几率密度 ，所以不允许泡利不相容原理：费米系统中，两个费米子不能处 于同一个状态,正是这个原理，使核和原子等的结构有序二、N粒子体系,将两粒子体系推广到N 粒子体系,单粒子的本征值方程：,体系的薛定格方程：,（7.7-13）,本征能量,三、费米子体系波函数,可见，在不考虑粒子间相互作用时，全同粒子体系的能量等于各单粒子能量之和，哈米顿算符的本征函数是各单粒子的本征函数的积因此，解多粒子体系的问题，归结为解单粒子的薛定格方程下面分别讨论费米系统和玻色系统的波函数形式由N个费米子组成的体系的本征函数是反对称的，依照（7.7-13）式,是归一化的， 是 的归一化因子将斯莱特行列式展开，共有 项如（7.7-13）式的形式，因而, 是体系薛定格方程 的本征函数解交换任意两个粒子，在斯莱特行列式中就表现出两列相互交换，这就使行列式改变符号所以 是反对称的如果N个粒子中，有两个处于同一个状态，则斯莱特行列式中有两行完全相同，这使行列式等于零，从而使 ，几率 要使 ，不能有两粒子处在同一单粒子态。

这也就是泡利的不相容原理例,一个体系由三个费米子组成，粒子间无相互作用，它们分别可能处于单粒态 、 、 ，求系统波函数Solve,四、玻色子体系的波函数,N个玻色子所组成的体系的波函数应是对称的它也由（7.7-13）式进行构成所不同的是单粒子态 中，能容纳的玻色子数不受限制，可大于1波函数形式可表示为：,式中P表示N个粒子在波函数中的某一种排列， 表示对所有可能的排列求和，而C则为归一化常数设N个玻色子中，有 个处于 态，有 个处于 态，有 个处于 态，而 ，则体系的 波函数为：,所以归一化因子为：,Ex.1,在N个全同玻色子所组成的体系中，如果有 个粒子处在单粒子态 中, ，求此体系的归一化波函数Solve： ①当N个全同玻色子处于N个不同的单粒子状态时，体系的玻函数为：,由于单粒子态是正交归一的，则上式变为：,这里 表示 个粒子在 个单粒子态上各占一态的某一种排列，而 表示对各种可能排列方式的种数求和，应有 种根据波函数的归一化条件：,,归一化常数,② 当 个粒子处于某一个态 时, 有 种交换，即 种排列不形成新的状态，这时求和的项数不是 ，而应是,归一化常数,归一化波函数,一体系由三个全同玻色子组成，玻色子之间无相互作用。

玻色子只有两个可能的单粒子态问体系可能的状态有几个？它们的玻函数怎样用单粒子态构成？ (教材习题7.6),Solve:,设两单粒子态为 和 Ex.2,有两种情况：,第一种情况：,三粒子同处于 态：,三粒子同处于 态：,(1) 三个玻色子处在同一个状态 (2) 两个玻色子处在同一个状态，另一个玻色子处于另一状态第二种情况：,两粒子同处于 态，一粒子处于 态,两粒子同处于 态，一粒子处于 态,一体系由三个全同玻色子组成，玻色子之间无相互作用可能的单粒子态有三 ，问体系可能的状态有几个？波函数怎样由单粒子态构成？,Solve:,（1）三个玻色子分别处于三个单态上：,状态数：,Ex.3,（2）三个粒子处于同一个单态上,（3）两粒子处在同一态，一粒子处在另一态,三种十个态！,五、 全同粒子体系的自旋函数,在不考虑粒子自旋和轨道相互作用的情况下，体系的波函数可写成坐标函数和自旋函数的乘积若粒子是玻色子，则 为对称波函数，这时 和 均为对称或均为反对称的若粒子为费米子，则 为反对称波函数，这时如果 为对称的，那么 为反对称的如果 为反对称的，那么 为对称的。