浙江省初三中考圆知识点及例题.doc

始于1993 ★★★★★ 戴氏教育，您身边的教育专家！圆 一、圆的有关性质 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径 由圆的意义可知： 圆上各点到定点（圆心O）的距离等于定长的点都在圆上 就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合 圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形 圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆 能够重合的两个圆叫等圆 同圆或等圆的半径相等在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧 二、过三点的圆 l、过三点的圆 过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心 定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。

经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形 三、垂直于弦的直径 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 推理1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧推理2：圆两条平行弦所夹的弧相等 四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合 顶点是圆心的角叫圆心角，从圆心到弦的距离叫弦心距 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 五、圆周角 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角 推理1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推理2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径 推理3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 由于以上的定理、推理，所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线六、圆的内接四边形 多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆 定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角七、直线和圆的位置关系 1、直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫圆的割线 直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点 直线和圆没有公共点时，叫直线和圆相离 2、若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则： 直线和圆相交d＜r；直线和圆相切d＝r；直线和圆相离d＞r；直线和圆相交d＜r 例如：图6－2中，直线与圆O相割，有：r＞d 图6－3中，直线与圆O相切，r＝d 图6－4中，直线与圆O相离，r＜d八、切线的判定和性质 切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径推理1：经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点推理2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 例如图6－5中，O为圆心，AC是切线，D为切点 ∠B＝90 则有BC是切线 OD是半径 OD⊥AC 九、三角形的内切圆 要求会作图，使它和己知三角形的各边都相切 ∵分角线上的点到角的两边距离相等∴两条分角线的交点就是圆心 这样作出的圆是三角形的内切圆，其圆心叫内心，三角形叫圆的外切三角形和多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形 十、切线长定理 经过圆外一点可作圆的两条切线在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫这点到圆的切线长 切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角，如图6－6 B、C为切点，O为圆心AB＝AC，∠1＝∠2 十一、相切在作图中的应用 生活、生产中常常需要由一条线（线段或孤）平滑地渡到另一条线上，通常称为圆弧连接，简称连接，连接时，线段与圆弧，圆弧与圆弧在连接外相切，如图 6－ 14十二、正多边形和圆 各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。

定理：把圆分成n（n＞3）等分： （l）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形； （2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距 正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角 正n边形的每个中心角等于 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心 若n为偶数，则正n边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比 十三、正多边形的有关计算 正n边形的每个内角都等于定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算 十四、画正多边形 1、用量角器等分圆 2、用尺规等分圆 正三、正六、正八、正四及其倍数（正多边形）正五边形的近似作法； 十五、圆周长、弧长1、 圆周长C＝2πR；2、弧长 十六、圆扇形，弓形的面积 l、圆面积：； 2、扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。

在半径为R的圆中，圆心角为n的扇形面积S扇形的计算公式为： 注意：因为扇形的弧长所以扇形的面积公式又可写为 （3）弓形的面积 由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积若弓形的弧是优弧，则弓形面积等于扇形面积加上三角形面积 十七、圆柱和圆锥的侧面展开图 1、圆柱的侧面展开图 圆柱可以看作是由一个矩形旋转得到的，如把矩形ABCD绕边AB旋转一周得到的图形是一个圆柱图6一16） AB叫圆柱的轴，圆柱侧面上平行轴的线段CD， C’D’，…都叫圆柱的母线 圆柱的母线长都相等，等于圆柱的高 圆柱的两个底面是平行的 圆柱的侧面展开图是一个长方形，如图6－17，其中AB=高，AC=底面圆周长 ∴S侧面=2πRh 圆柱的轴截面是长方形一边长为h，一边长为2R R是圆柱底半径，h是圆柱的高见图6－8 （2）圆锥的侧面展开图 圆锥可以看作由一个直角三角形旋转得到 如图6－19，把Rt△OAS绕直线SO旋转一周得到的图形就是圆锥。

旋转轴SO叫圆锥的轴，连通过底面圆的圆心，且垂直底面 连结圆锥顶点和底面圆的任意一点的SA、SA’、…都叫圆锥的母线，母线长都相等 圆锥的侧面展开图如图6一19是一个扇形SAB半径是母线长，AB是2πR底面的周长），所以圆锥侧面积为 S侧面=πRL经典例题圆的有关概念和性质1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧.其中正确的有( )　　(A)4个 　　　(B)3个　　　 (C)2个 　　　(D)1个　　【考点】本题考查直径、过不在同一条直线上的三点的圆、外心、等圆与等弧等概念，　　【思路点拨】其中第②个命题不对的原因在于忽视了过三点作图的条件.若三点在一条直线上，则不能作出过这三点的圆，故②不对.　　【答案】B.　2．下列判断中正确的是( )　　(A)平分弦的直线垂直于弦　　(B)平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧　　(C)弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧　　(D)平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦　　【考点】垂径定理　　【解析】弦的垂直平分线平分弦、垂直于弦，因此平分弦所对的两条弧.A中被平分的弦应不是直径；　　　　　　B理由同A；D中平分弧的直线的直线应过圆心.　　【答案】C.3．如图，在两半径不同的同心圆中，∠AOB=∠A′OB′=60，则( ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　(A)　　　　　　　　　 (B)　　(C)的度数=的度数　　　 (D)的长度=的长度　　【思路点拨】因为在圆中，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，而∠AOB=∠A′OB′，所以的度数=的度数.　　【答案】C.　4．如图，已知圆心角∠AOB的度数为100，则圆周角∠ACB的度数是( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.80　　　 B.100　　　 C.120 　　　D.130　　【考点】同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形的对角互补.　　【答案】D.　　总结升华：圆的有关性质在解决圆中的问题时，应用广泛，运用简便.举一反三：　　【变式1】某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为_____.　　　　　　　　　　　　　　　　【考点】垂径定理.　　【思路点拨】本题可用几何语言叙述为：如图，AB为⊙O的弦，CD为拱高，AB=24米，半径OA=13米，求拱高CD的长.　　【解析】由题意可知：CD⊥AB，AD=BD，且圆心O在CD的延长线上.连结OA，　　　　　　则OD===5(米).所以CD=13-5=8(米).　　【答案】8米.【变式2】如图，AB是○O的直径，∠ACD=15，则∠BAD=__________.　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【考点】同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是90.　　【思路点拨】AB是直径，则∠ADB=90，∠ACD=∠ABD=15，可求得∠BAD.　　【答案】75.　　【变式3】如图，圆O的直径AB和弦CD相交于点E，且AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60，求CD的长.　　　　　【解析】因为AE=1cm，EB=5。