4.1.2圆的一般方程.ppt

4.1.2 圆的一般方程,圆的标准方程:,(x-a)2+(y-b)2=r2,特征：,直接看出圆心与半径,复习,x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0,,由于a, b, r均为常数,结论：任何一个圆方程可以写成下面形式,动动手,1.是不是任何一个形如 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示的曲线都是圆呢？,思考,2.下列方程表示什么图形？（1）x2+y2-2x+4y+1=0； （2）x2+y2-2x-4y+5 =0；（3）x2+y2-2x+4y+6=0.,配方可得：,把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0,(1) 当D2+E2-4F>0时,表示以（ ） 为圆心，以( ) 为半径的圆.,(2) 当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解x=-D/2 y=-E/2，表示一个点（ ）.,动动脑,(3) 当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所以不表示任何图形.,所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）可表示圆的方程,圆的一般方程：,x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0,圆的一般方程与标准方程的关系：,,(D2+E2-4F>0),（1）a=-D/2，b=-E/2，r=,②没有xy这样的二次项,（2）标准方程易于看出圆心与半径,一般方程突出形式上的特点：,①x2与y2系数相同并且不等于0；,判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径,(1) x2+y2-2x+4y-4=0,(2) 2x2+2y2-12x+4y=0,(3) x2+2y2-6x+4y-1=0,(4) x2+y2-12x+6y+50=0,(5) x2+y2-3xy+5x+2y=0,是,圆心（1，-2）半径3,是,圆心（3，-1）半径,不是,不是,不是,练习,,,(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:,一般方程,标准方程,[小结一]:,已知圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于2. 若 x2+y2-2ax-y+a=0 表示圆，则a的取值范围是（ ）,练习,圆x2+y2+8x-10y+F=0 与x轴相切,则这个圆截y轴所得的弦长是4. 点A(3,5) 是圆 x2+y2-4x-8y-80=0 的一条弦的中点,则这条弦所在的直线方程是,练习,,,,例1. 自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上，被x轴反射， 其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切， 求反射光线所在直线的方程.,•,B(-3，-3),,,,例题选讲,1. 自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上，被x轴反射， 其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切， 求光线l 所在直线的方程.,题意分析,•,B(-3，-3),入射光线及反射光线与 x轴夹角相等.,(2)点A关于x轴的对称点B在 反射光线所在的直线l 上.,,(3)圆心C到l 的距离等于 圆的半径.,答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0,2.已知一圆与y轴相切，在直线y=x上截得的弦长为 2 ，圆心在直线x-3y=0上，求此圆的方程.,分析,(1)本题选用圆的方程标 准形式较好,3. 圆C过点A(1，2)，B(3，4)，且在x轴上截得的弦长为6 ， 求圆C的方程.,(2)圆的半径、半弦长、边心距 组成直角三角形,例2.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.,相关点法,练习:过点M(-6,0)作圆C:x2+y2-6x-4y+9=0的割线，交圆C于A、B两点.求线段AB的中点P的轨迹.,注意：“轨迹”与“轨迹方程”的区别.,,课堂练习：P.123 练习1，2，3.,例3. 等腰三角形的顶点A的坐标是(4, 2)，底边一个端点B的坐标是(3, 5)，求另一端点C的轨迹方程，并说明它是什么图形.,,例4. 长为2a的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求线段AB的中点的轨迹方程.,练习,1. P.123练习第3题.,2. 已知一曲线是与两定点O(0, 0),A(3, 0)的距离的比为 的点的轨迹，求这个曲线的方程，并画出曲线,1.步骤：(1)依题意设出待定系数方程 (2)列出关于待定系数的方程（组） （3）解方程（组）得出系数，写出所求方程,[小结二]:,注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式:,①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用 圆的标准方程较简单.,②若已知三点求圆的方程,我们常常采用 圆的一般方程用待定系数法求解.,(特殊情况时,可借助图象求解更简单),小结,(特殊情况时,可借助图象求解更简单),注意:求圆的方程时,要学会根据题目条件,恰当选择圆的方程形式:,①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.,②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.,1、已知（x-3）2+（y-2）2=1，求x2+y2的最大值与最小值。

2、圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离的最大值为,作业：,1、已知实数x,y满足方程x2+y2-6x+5=0,求x2+y2的最大值和最小值2、求圆C： x2+y2-2x-4y+4=0的上的点到直线3x+4y+4=0的距离的最值.3、（用三种方法解答）求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标.,,已知：一个圆的直径的两端点是A(x1，y1) 、B(x2，y2). 证明：圆的方程是 (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,,•C,,,• P,解法一：,求圆心、求半径,解法二：,直译法,P点满足PA⊥PB,即,举例,举例,例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.,几何方法,,,,y,x,,,,,,,,,,M1(1,1),M2(4,2),0,待定系数法,因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上,待定系数法,方法二：,举例,例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.,举例,例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.,解：设所求圆的一般方程为：,因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则,即（x-4）2+（y+3）2=25,待定系数法,方法三：,。