非初等原函数的几种类型【优秀】【开题报告+文献综述+毕业论文】.doc

毕业论文开题报吿数学与应用数学非初等原函数的几种类型一、 选题的背景与意义学好微积分学是大学理工科学生学好专业课的一个前提条件，我们知道，不 定积分\ f\x)dx初等性是指/(x)的原函数是初等函数；而不定积分\f{x)dx的非 初等性是指/(X)的原函数不是初等函数学过数学分析和高等数学的人都知道, 初等函数在其定义域内是连续的，而任何连续函数的不定积分都是存在的，由于 不定积分就是求函数的原函数，因此，每个初等函数在其定义区间上都有原函数 在实际求积分的过程中，能够通过不定积分的方法求得原函数的函数，它的原函 数一定是初等函数，在很多时候让人伤脑筋的是，看起来很简单的不定积分试用 各种不定积分的方法都不能求出其结果，很令人费解事实上，并不是每一个初等函数在其定义域内的原函数都是初等函数，而这 些函数的原函数是不能用不定积分方法求得的，也就是说这些函数的不定积分 “积不出来”在学到不定积分内容时，老师通常会结论性地告诉学生某些不定 积分是不能用初等函数来表达的，既不证明，也没有更多的说明这难免不使学 生感到疑惑和不踏实，也容易使学生谋以为不能用初等函数表示的不定积分很 少，同时也可能会使学生在遇到原函数不是初等函数的问题时，为试图寻求原函 数求解而煞费苦心，浪费时间。

可见，给出更多积不出函数的例子和一些判断不 定积分是否是初等函数的法则是很有必要的二、 研究的基本内容与拟解决的主要问题研究的慕本内容：1、 如何判断一个函数的原函数不是初等函数；2、 如何求原函数不是初等函数的原函数；3、 归纳、总结原函数非初等性的儿种类型拟解决的主要问题：1. 提出一些“积不出来”的积分类型；2. 对于非初等原函数的定积分利用不变限代换求解；3. 从理论上证明原函数的非初等性三、 研究的方法与技术路线：首先通过查阅相关文献资料，熟悉木课题前人已经做的研究工作；同时进一 步深入学习不变限代换的思想，其次在前人研究的基础上推导并证明一些“积不 出来”的积分类型；最后着手进行本课题内容的写作四、 研究的总体安排与进度：2010年11月中旬至2010年12月中旬，查阅相关的资料，完成开题报告2010年12月中句至2010年12月下句，进一步完善开题报告，文献综述， 初期检查2011年1月上旬至2011年3月中旬,继续设计,整理资料2011年3月下旬至2011年4月上旬，完成非初等原函数类型的整理，设计 证明，中期检查2011年4月中句，完成整体设计，答辩五、 主要参考文献：[1] 杨玉文•“积不出来”函数的判定和积分[J]・赤峰学院报,2006, 22 (3)： 3-12.[2] 王建华•周丽萍•某些不定积分的非初等性问题[J] •呼伦贝尔学院报，2005, 13(2)： 71-73 ・[3] 张建新•不定积分的非初等性[J] •沙洲职业工学院学报，2001, 4 (2)：35-38 ・[4] 周民强•数学分析(第一册)[M] .±海科学技术出版社，2002.[5] 张春苟•不定积分中“积不出”问题[J]・数学的实践与认识，2009, 39(7)： 212-[6] B.II.吉米多维奇著，李荣冻译•数学分析习题集[M] •人民教育出版社，1958.[7] 陈纪修，於崇华，金路•数学分析[M]・文小西•第二版。

北京：高等教育出 版社，2004 •[8] 王文•非初等函数的判别法[J] •大学数学，2008, 24 (3)： 165-168・[9 ] OLIVIER ESPINOSA,VICTOR H.MOLL.On Some Integrals Involving the Hurwitz Zeta Function: Part 2[J].THE RAMANUJAN JOURNAL,6,449-468, 2002 Kluwer Academic Publishers・ Manufactured in The Nether lands.[10] M. V. Lomonosov Moscow State University. Translated from Matematicheskie Zametki, Vol. 9, No.3, pp. 311-321, March, 1971. Original article submitted December 16, 1969.毕业论文文献综述数学与应用数学非初等原函数的几种类型在高等数学中，初等函数是主要的研究对象众所周知，初等函数在其定义 区间上是连续的，而连续函数的概念在微积分、常微分方程、复变函数等教材中 出现的频率最多，但是在不定积分中，一些看起来很简单的不定积分试用牛顿・ 莱布尼兹公式却不能求出其结果，很令人费解。

事实上，这就是关于不定积分非 初等性的问题我们知道，初等函数是由常数函数、幕函数、指数函数、对数函数、三角函 数和反三角函数这些基本初等函数进行有限次四则运算与复合运算所产生的函 数初等函数在其定义区间是连续的，而任何连续函数的不定积分都是存在的， 由于不定积分就是求函数的原函数，因此，每个初等函数在其定义区间上都有原 函数所谓不定积分的非初等性，实际上就是初等函数的原函数不是初等函数在数学分析教材中，都只是结论性的给出几个不定积分不能用初等函数表示 的例子，既不证明，也没有更多的说明这难免不使学生感到疑惑和不踏实，也 容易使学生课以为不能用初等函数表示的不定积分很少，同时也可能会使学生在 遇到原函数不是初等函数的问题时，为试图寻求原函数求解而煞费苦心，浪费时 间可见，给出更多积不出函数的例子和一些判断不定积分是否是初等函数的法 则以及如何避开牛顿■莱布尼兹公式计算非初等函数的不定积分是很有必要的 本文将在这些方面做一些探讨研究不定积分非初等性问题的理论依据在文献［1・8］中给出，其基础是刘维尔 (J.Liouville)定理文献⑴给出了原函数不是初等函数的判断定理：设f(x)、x = g⑴及x =的反函数t = 都是初等函数，则是非初等函数当且仅当 ”［g⑴阪⑴%是非初等函数。

文献23］给出了刘维尔(J.Liouville)定理的特殊情况，即设f(“)是有理函数,g(x)是多项式函数，若不定积分J/(“)，⑴必是初等的，则它的形式为 \f(x)eg(x}dx = R(x)eg^ + C 其中恥)也是有理函数以及定理的等价叙述，即 设f(x)是有理函数，g(x)是多项式函数，则不定积分J/(力占‘叫抵是初等的充要 条件为存在互质多项式％) 、 W),等式Q(x)[Q(x)f(x) 一 P\x) 一 P(x)g(x)] = -P(x)QXx) 成立并利用上述定理得到一结论，即设巩兀)、％兀)都是实值函数， w(x) = u(x) + iv(x),则不定积分J“G)力是初等的充要条件为它的实部积分 ”⑴必与虚部积分应恥都是初等的文献[4・5]给出了刘维尔(J.Liouville)第三定理、第四定理、切彼晓夫定理以 及推论刘维尔第三定理：设"劝，巩兀)为兀的代数函数，且现兀)不为常数 若”⑴严么是初等函数，则”(= R(x)esM + C ,其中R(x)和c分别 是有理数和常数刘维尔第四定理：设加对也(兀)伙=1,2,・・・/)为尤的代数函数, 且8i(对-8j(x)工常数"儿若函数^(%)若fk的不定积分是初等函数, 则J齐⑴葩"血伙= 1,2,…对也是初等函数。

刘维尔第四定理的推论：设 尤⑴,g*⑴伙= 1,2,…，”)为兀的代数函数，且gQ) —gjW工常数0如)若 ⑷⑴二(兀0⑴ Z Xy 中有一项是积不出函数，则呱X)也是积不出函数切彼晓夫定理：不定积分"© +加％ (其中a,b工0,p,q,F是有理数)是初等函数的充〃 + 1 P + 1彳 ， q要条件是 厂 厂 三个数中至少有一个是整数J)X |[ebx2dx(b^^ [一山(bHO) [-一dx通过这些定理，文献中已经得到J齐u丿，j兀 ,Jinx的非初等性,以及M(协，"pg ,氓恥皿，J恥)sin也f P(r)cosx2dx f Pn(-)sinxdx f Pfl(-)cosxdx, J尤 ，」x 非初等性的判别法则但是对于为数其多的原函数非初等的不定积分来说，这些例子还不足以满足学生对非初等 原函数的探究欲望，所以还是有必要寻找更多原函数非初等的不定积分的例子， 如W©)皿山是非初等的，疋酬皿非初等性的判别法则等另一方面，当遇到原函数是非初等的定积分时，试图通过经典的牛顿■莱布 尼兹公式求其原函数是求不出来的因此，有必耍寻找一种新的方法来解决这一 类函数的原函数的求法严 sinx f ax文献⑴指岀可以利用复级数求定积分X 。

参考文献】⑴杨玉文•“积不出来”函数的判定和积分[J]・赤峰学院报,2006, 22 (3)： 3-12.[2] 王建华.周丽萍.某些不定积分的非初等性问题[J].呼伦贝尔学院报，2005, 13 (2)：71-73.[3] 张建新•不定积分的非初等性[J]•沙洲职业工学院学报,2001, 4 (2)： 35-38.[4] 周民强.数学分析(第一册)[M]•上海科学技术出版社，2002.⑸张春苟.不定积分中“积不岀”问题[J].数学的实践与认识，2009, 39 (7)： 212-224.⑹B.I[.吉米多维奇著，李荣冻译•数学分析习题集[M].人民教育岀版社，1958. ⑺陈纪修，於崇华，金路擞学分析[M].文小西.第二版北京：高等教育出版社, 2004.[8]王文•非初等函数的判别法[J]•大学数学,2008, 24 (3)： 165-168.⑼ OLIVIER ESPINOSA,VICTOR H.MOLL.On Some Integrals Involving the Hurwitz Zeta Function: Part 2[J].THE RAMANUJAN JOURNAL, 6, 449 - 468, 2002 Kluwer Academic Publishers・ Manufactured in The Nether lands.[10] M. V. Lom ono sov Moscow State University ・ Tran slated from Matematicheskie Zametki, Vol. 9, No.3, pp. 311-321, March, 1971. Original article submitted December 16, 1969.本科毕业设计（20 届）非初等原函数的几种类型【摘要】学过数学分析和高等数学的人都知道，在学到不定积分内容时，老师通常会结论性地告诉学 生某些不定积分是不能用初等函数來表达的。

其原因是刘维尔定理过于复杂，难以为一般教科书所采纳 木文利用刘维尔定理的特殊情况给出了如何证明某些不定积分的非初等性及运用变量代换和分部积分 的方法得出一些判断法则此外，还举出一些例题加深理解关键词】非初等原函数；变量代换；分部积分；不定积分Abstract[ABSTRACT] The person who learned maths analysis and the higher mathematics all know that the teacher usually con elusive telli ng students some un certai n In tegral which cannot be used the eleme ntary function to exp。