5.3振动能量与共振.doc

§5.3 振动能量与共振 5. 3．1、简谐振动中的能量以水平弹簧振子为例，弹簧振子的能量由振子的动能和弹簧的弹性势能构成，在振动过程中，振子的瞬时动能为：振子的瞬时弹性势能为：振子的总能量为：图5-3-1简谐振动中，回复力与离开平衡位置的位移x的比值k以及振幅A都是恒量，即是恒量，因此振动过程中，系统的机械能守恒如以竖直弹簧振子为例，则弹簧振子的能量由振子的动能、重力势能和弹簧的弹性势能构成，尽管振动过程中，系统的机械能守恒，但能量的研究仍比较复杂由于此时回复力是由弹簧的弹力和重力共同提供的，而且是线性力（如图5-3-1），因此，回复力做的功（图中阴影部分的面积）也就是系统瞬时弹性势能和重力势能之和，所以类比水平弹簧振子瞬时弹性势能表达式，式中x应指振子离开平衡位置的位移，则就是弹性势能和重力势能之和，不必分开研究简谐振动的能量还为我们提供了求振子频率的另一种方法，这种方法不涉及振子所受的力，在力不易求得时较为方便，将势能写成位移的函数，即，另有 也可用总能量和振幅表示为5．3．2、阻尼振动图5-3-2简谐振动过程的机械能是守恒的，这类振动一旦开始，就永不停止，是一种理想状态。

实际上由于摩擦等阻力不可完全避免，在没有外来动力的条件下，振动总会逐渐减弱以致最后停息这种振幅逐渐减小的振动，称为阻尼振动阻尼振动不是谐振动①振动模型与运动规律如图5-3-2所示，为考虑阻尼影响的振动模型，c为阻尼器，粘性阻尼时，阻力R=-cv，设m运动在任一x位置，由有分为 （17）图5-3-31cmx图5-3-4式中 这里参考图方法不再适用，当 C 较小时，用微分方程可求出振体的运动规律，如图4-22所示②阻尼对振动的影响由图5-3-3可见，阻尼使振幅逐渐衰减，直至为零同时也伴随着振动系统的机械能逐渐衰减为零此外，愈大，即阻尼愈大，振幅衰减愈快而增大质量m可使n减小所以，为了减小阻尼，单摆的重球及弹簧振子往往选用重球③常量阻力下的振动例1、如图5-3-4所示，倔强系数为250g/cm的弹簧一端固定，另端连结一质量为30g的物块，置于水平面上，摩擦系数，现将弹簧拉长1cm后静止释放试求：（1）物块获得的最大速度；（2）物块经过弹簧原长位置几次后才停止运动解：振体在运动中所受摩擦阻力是与速度方向相反的常量力，并不断耗散系统的机械能，故不能像重力作用下那样，化为谐振动处理。

1）设首次回程中，物块运动至弹簧拉力等于摩擦力的x位置时，达最大速度由 ，再由能量守恒： 代入已知数据得（2）设物体第一次回程中，弹簧的最大压缩量为，则 再设物体第一次返回中，弹簧的最大拉伸量为，则可见振体每经过一次弹簧原长位置，振幅减小是相同的，且均为而 故物体经过16次弹簧原长位置后，停止在该处右方5．3．3 受迫振动——在周期性策动外力作用下的振动例如：扬声器的发声，机器及电机的运转引起的振动1、振动模型及运动规律如图5-3-5所示，为策动外力作用下的振动模型其中，阻力R=-cv，为常见的粘性阻尼力策动力F=Hcospt，为简谐力时图5-3-5由，有化为标准标式式中 ，，由微分方程理论可求得振子的运动规律（2）受迫振动的特性在阻尼力较小的条件下，简谐策动力引起的振动规律如图5-3-6所示在这个受迫振动过程由两部分组成：一部分是按阻尼系统本身的固有频率所作的衰减振动，称为瞬态振动（图（a））；另一部分按策动力频率所作的稳定振动（图（b））在实际问题中，瞬态振动很快消失，稳态振动显得更加重要稳态振动的频率与系统本身的固有频率无关，其振幅与初位相也不由初始条件确定，而与策动频率p密切相关。

5．3．4、共振—当策动力频率p接近于系统的固有频率时受迫振动振幅出现最大值的现象如图5-3-7所示的一组曲线，描述了不同阻尼系统的稳态振幅A随策动力频率p改图5-3-7变而引起的变化规律由图可见：1、当p接近时振幅最大，出现共振2、阻尼越小，共振越大3、时，振幅就是静力偏移，即4、p>>时，振体由于惯性，来不及改变运动，处于静止状态。