与圆有关的切线问题初探.docx

    与“圆”有关的切线问题初探    郑小华摘 要：纵观全国各地中考题，与“圆”有关的计算与证明是中考的必考内容之一，占有较大比重，通常结合三角形、四边形等与圆有关的位置关系进行综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，同时要注意已知条件之间的相互联系文章对与“圆”有关的位置关系进行了相关探索Key：“圆”;切线;解题思路笔者翻阅全国各地中考试卷发现，近五年来中考对“圆”的考查一般会出现在填空题第8题，或作为选择题出现在第14题或第16题，广东省中考卷中连续几年将与“圆”有关的计算与证明题作为9分压轴题之一放在解答题（三）中的第24题一、知识思维导图二、重点及难点问题解析知识点一 直线和圆的位置关系的判定及性质设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交？圳dr1）“？圳”号左边是直线和圆的位置关系，右边是圆心到直线的距离和半径大小的数量关系;（2）直线和圆的位置关系和圆心到直线的距离与半径的大小关系是一一对应的;（3）从左边推出右边是直线和圆心的位置关系的性质，从右边推出左边是直线和圆的位置关系的判定知识点二 切线的判定定理及性质定理（1）在应用判定定理时注意：①切线的两个条件：经过半径外端;垂直于这条半径。

②切线的判定定理的出处：“圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切”③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单地说成“无交点，作垂线段，证半径”;当已知线段中明确指出直线和圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”2）在应用性质定理时应注意：①切线和圆只有一个公共点;②圆心到切线的距离等于半径;③经过圆心并垂直于切线的直线必过切点;④经过切点并垂直于切线的直线必过圆心知识点三 切线长定理（1）切线是一条直线，无法度量其长度;而切线长是切线上一条线段的长;（2）经过圆外一点，可以作两条直线与该圆相切;（3）因为切线长是切线的一部分，所以切线的所有性质适合切线长;（4）切线长定理包含着垂直、全等、弧相等等关系，在一些证明求解问题中经常用到三、典型例题剖析题型① 直线和圆的位置关系的判定及性质的应用【例1】已知⊙O的圆心O到直线l上一点A的距离等于⊙O的半径，试判断直线l和圆O的位置关系解析：要判定直線l和⊙O的位置关系，必须先弄清⊙O的圆心O到直线l的距离与半径的大小关系，此题有两个可能：一是直线l与O相切;二是直线l和⊙O相交。

答案：相切或相交点拨：区分开OA的长度不一定是圆心O到直线l的距离类题突破1】在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，O为AB边上一点（不与点A重合），AO=m，⊙O的半径r=，则m在什么范围取值时，直线AC与⊙O相交？相切？相离？答案：过点O作OD⊥AC于点D，则∠AOD=∠B=30°∵OA=m，∴AD=am，∴OD=a=am当OD

类题突破2】已知，直线l与⊙O相切于点C，AD为⊙O的直径，点B在直线l上，且∠BAC=∠CAD（AB与AD不在同一条直线上），先画出图形，试判断四边形ABCO的形状，并证明你的结论解析：在审题的过程中我们可以先根据题意画出⊙O与它的切线l，再画出直径AD，最后根据∠BAC=∠CAD确定点B的位置，在探究四边形ABCO的形状时，可将直径AD转动，得到几个不同的位置进行观察和猜想，发现在一般情况下，四边形ABCO是直角梯形，特殊到当AD∥l时，四边形ABCO就变成了正方形，所以在我们在解题的过程中要分两种情况进行讨论答案：如图（1），当AD与直线l不平行时，四边形ABCO是直角梯形，证明如下：∵在⊙O中，OC=OA，∴∠ACO=∠CAD又∵∠BAC=∠CAD，∴∠BAC=∠ACO，∴ AB∥OC∵⊙O与直线l相切于点C，∴∠OCB=90°，又∵AD与直线l不平行，∴四边形ABCO为直角梯形如图（2），当AD与直线l平行时，四边形ABCO是正方形，同（1）可证得BA∥OC，∠OCB=90°∵AD∥l，∴四边形ABCO为矩形又∵OA=OC，∴四边形ABCO为正方形方法规律：在解答有关判断形状的问题时，一般情况下先将图形移动做适当的变化，然后从各种不同的位置进行观察、猜想和论证。

当因为图形的变化而得到不同的情况时，要对产生的不同的情况分别进行讨论题型③ 三角形的内切圆的考查【例3】如图，MA，MB是⊙O的两条切线，A、B为切点，若∠AMB=60°，AB=1，则⊙O的直径等于（   ）A. a B. 2aC. a D. a解析：如图，要求直径，可考虑求半径，由于MA、MB為切线，A、B为切点，∠AMB=60°，连接OA、OM，设OM交AB于C，易知OA⊥AM，∠AMO=a∠AMB=30°，又OM⊥AB，所以∠OAB=∠AMO=30°，AC=aAB=a，所以OA=a类题突破3】如图，在圆I 中，AB=AC=5，BC=6，E、F分别是边AC、AB与圆I的切点求圆I的半径答案：过点A作AD⊥BC于点D，则AD为∠BAC的平分线，则I在AD上∵AB=AC=5，BC=6，∴AD=4如图，连接IE，则IE⊥AC，设I半径为x∵∠IAE=∠CAD，∠AEI=∠ADC，∴△AIE∽△ACD∴a=a，即a=a解得：x=a，故△ABC的内切圆I的半径为a规律总结：关于“圆心与切点”：①点心连（圆心与切点）是解决圆的问题中的最常用的辅助线②若想要证明某条直线是圆的切线，若题目中没有明确指出圆和直线是否有公共点，那么就首先想到经过圆心作这条直线的垂线段，再去证明这条线段的长等于这个圆半径，这就是传说中的“无交，垂也，证半径”。

③在证明直线与圆相切的过程中，如果题目中已知明确直线与圆有公共点，那么就可以用“点心连”连圆上的点和圆心，再去证明该条直线是否垂直于该条半径，“作半径，证垂直”④当圆中已说明有直径时，通常要想到构造圆周角，即“有直径，造直角”关于“三角形与圆的关系”：①三角形的外心与内心都有许多固定的性质，如锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中心，钝角三角形的外心在三角形外部，等腰三角形的外心和内心在底边的中线上，等边三角形的内心和外心重合②在三角形内切圆有关问题中，常用代数式方法解决几何问题，一般解法是设未知数列方程遇到圆外三角形时注意切线长定理的应用，切线长定理包含着一些隐藏结论，如下图：①MA=MB，∠1=∠2;②直线MC是弦AB的对称轴;③P为AB的中心，C为ACB的中心四、结语总之，遇到与圆有关的位置关系问题，我们要做到切线“一看”“二算”“三证明”一看”，即看看题目中有没有说到唯一的公共点;“二算”，即算算圆心到直线的距离是否与圆的半径相等;“三证明”，即证明一经过，二垂直在求切线长的过程中，经常要与切线的“三理”（性质定理、勾股定理、垂径定理）进行深度融合及综合运用熟练掌握三角形的内切圆和内心的相关概念。