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Weierstrass、Luzin简介Weierstrass：维尔斯特拉斯的主要贡献在数学分析、解析函数论、变分法、微分几何学和缐性代数等方面他是把严格的论证引进分析学的一位大师他的批判精神对19世纪数学产生很大影响他在严格的逻辑基础上建立了实数理论，用单调有界序列来定义无理数，给出了数集的上、下极限，极限点和连续函数等严格定义，还在1861年构造了一个著名的处处不可微的连续函数，为分析学的算术化做出重要贡献他完成了由柯西（Cauchy）引进的用不等式描述的极限定义（所谓ε-δ定义）在解析函数论中，维尔斯特拉斯也有重要贡献他建立了解析函数的幂级数展开定理和多元解析函数基本理论，得到代数函数论及阿贝尔积分中的某些结果在变分法中，他给出了带有参数的函数的变分结构，研究了变分问题的间断解在微分几何中，他研究了测地缐和最小曲面在缐性代数中，建立了初等因子理论并用来化简矩阵他还是一位杰出的教育家，一生培养了大批有成就的数学人才，其中著名的有柯瓦列夫斯卡娅、施瓦兹、米塔─列夫勒、朔特基、富克斯等魏尔斯特拉斯逼近定理有两个：· 闭区间上的连续函数可用多项式级数一致逼近· 闭区间上周期为的连续函数可用三角函数级数一致逼近。

证明· 第一逼近定理可以从第二逼近定理直接推出· 第二逼近定理的证明；设f(t)为周期为的连续函数，定义为一三角级数首先证明，为一个正交函数系：(因为) 故令，于是我们可以求出 将代入  的定义式中，有：下面对积分号中的和式S求和，令，那么就有：，分成正负两部分求和，可知: 带回原积分，有，这就是f(s)的泊松积分其中称为泊松核故有：我们要检验的的是在时的情况，可以证明：由f(t)的一致连续性，可以证明，上式在时，满足一致收敛的条件，故我们可以用来一致逼近f(t)魏尔斯特拉斯函数(Weierstrass function)是一类处处连续而处处不可导的实值函数魏尔斯特拉斯的原作中给出的构造是：,其中， 为正的奇数，使得：魏尔施特拉斯分解定理是指任意整函数f(z)可以分解为如下无穷乘积的形式：f(z)=其中g(z)是另一整函数，h是上述无穷乘积收敛的最小整数，称为亏格这种无穷乘积称为典范乘积求解g(z)的方法一般是两边同时取对数再求导数，这样右边就可以化为无穷级数形式，通过对比无穷级数理论中的相关结果得出g(z)的形式卢津(1883～1950)  　　Luzin，Nikolai Nikolaevich苏联数学家。

1883年12月9日生于托木斯克，1950年2月2日卒于莫斯科1906年毕业于莫斯科大学，1905年和1910年曾两次到法国留学，接触到当时法国的一批著名学者，对他以后的科学研究产生了重要影响1916年获纯粹数学博士学位1917年成为莫斯科大学教授1927年当选为苏联科学院通讯院士，1929年为院士1928年当选为第八届国际数学家大会的副主席卢津是莫斯科数学学派的中心人物他对函数可测性与测度理论、描述性函数论、射影集均有研究卢津在解析函数的边界性质以及由函数的边界值唯一确定函数本身等问题上也曾作出过重要贡献他在微分几何、微分方程等领域都有建树关于曲面的变形问题，在某种意义上是他获得了最终的结果他还建立了解析集合论中一系列重要定理卢津猜想傅里叶级数理论中的一个著名问题1913年俄国数学家Η.Η.卢津在他发表的一篇论文中，提出了如下的猜想:区间【0,2π】上平方可积函数的傅里叶级数,在【0,2π】上几乎处处收敛这个猜想经过半个多世纪许多数学家的努力，终于被瑞典数学家L.卡尔森于用非常深刻的数学方法所证实傅里叶级数理论是19世纪初，从关于热传导的研究中产生的中心问题是:怎样的函数可以用它的傅里叶级数来表示?随着勒贝格测度、勒贝格积分理论的创立,傅里叶级数的几乎处处收敛问题逐渐为人们所重视。

1906年，P.J.L.法图首先证明卢津猜想发表之后，引起了世界上许多第一流数学家的关注在长长的53年中,这个猜想既不能被证实,也无法被否定但是围绕着它，出现了从正反两方面研究的一些重要成果1923年，Α.Η.柯尔莫哥洛夫构造了一个可积函数，它的傅里叶级数几乎处处发散1926年他又发现了一个傅里叶级数处处发散的可积函数但这两个可积函数都不是平方可积的因此卢津猜想不能被否定从肯定方面来接近卢津猜想的,则有1925年柯尔莫哥洛夫、Γ.A.谢利维奥尔斯托夫和A.普莱斯纳的工作他们把W(n)进一步降低到logn，但这离卢津猜想的证实仍有很大距离以后的40多年没有什么显著的进展基于上述柯尔莫哥洛夫的两个反例，在相当一部分有影响的数学家中，逐渐产生了否定卢津猜想的倾向例如1946年,在为纪念美国普林斯顿大学建校200周年举行的数学问题讨论会上，A.赞格蒙就认为，在三角级数理论方面提出猜想，根据历史的经验，往往是要失败的他指出，甚至连续函数的傅里叶级数是否必有收敛点都还不清楚他是从否定卢津猜想的角度来考虑的其后，卢津猜想一般就改变成两个带有倾向性的正反两方面的问题：①是否存在连续函数，它的傅里叶级数在某个正测度的点集上发散？②是否所有连续函数的傅里叶级数都几乎处处收敛？把问题集中到连续函数，这就反映了一定程度的倾向性,即认为原来的卢津猜想未必成立。

可是改变后的卢津问题的证明仍没有多大进展。