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初一数学竞赛系列讲座(9)　应用题（一）一、 知识要点1、 应用题是中学数学的重要内容之一，它着重培养学生理解问题、分析问题和解决问题的能力，解应用题最主要的方法是列方程或方程组2、 列方程(组)解应用题的一般步骤是：(1) 弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的一个未知数；(2) 找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系；(3) 根据这个相等关系列出方程；(4) 解这个方程，求出未知数的值；(5) 写出答案(包括单位名称)3、行程类问题行程类问题讨论速度、时间和路程之间的相互关系它们满足如下基本关系式： 速度´时间=路程 4、数字类问题 数字类问题常用十进制来表示数，然后通过相等关系列出方程 解数字类问题应注意数字间固有的关系，如：连续整数，一般设中间数为x，则相邻两数分别为x-1、x+1；连续奇(偶)数，一般设中间数为x，则相邻两数分别为x-2、x+2二、 例题精讲【例1】从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米，车从甲地开往乙地需9小时，乙地开往甲地需小时，问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？(第五届华杯赛复赛题)分析：本题用方程来解简单自然。

解 设从甲地到乙地的上坡路为x千米，下坡路为y千米，根据题意得方程组解这个方程组有很多种方法例如代入消元法、加减消元法等由于方程组系数比较特殊(第一个方程中x的系数恰好是第二个方程中y的系数，而y的系数也恰好是第二个方程中x的系数)，也可以采用如下的解法：(1)+(2)得 (x+y)( +)=9+所以 x+y= (3)(1)-(2)得 (x-y)( -)=9-所以 x-y= (4)由(3)、(4)得 x=所以甲、乙两地间的公路长210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路例2】公共汽车每隔x分钟发车一次，小宏在大街上行走，发现从背后每隔6分钟开过来一辆公共汽车，而每隔分钟迎面开来一辆公共汽车如果公共汽车与小宏行进的速度都是均匀的，则x等于 分钟第六届迎春杯初赛试题)分析：此题包括了行程问题中的相遇与追及两种情况若设汽车速度为a米/每秒，小宏速度为b米/每秒，则当一辆汽车追上小宏时，另一辆汽车在小宏后面ax米处，它用6分钟追上小宏另一方面，当一辆汽车与小宏相遇时，另一辆汽车在小宏前面ax米处，它经过分钟与小宏相遇。

由此可列出两个方程解：设汽车速度为a米/每秒，小宏速度为b米/每秒，根据题意得 两式相减得 12a=72b 即a=6b 代入可得x=5评注：行程问题常分为同向运动和相向运动两种，相遇问题就是相向运动，而追及问题就是同向运动解这类问题分析时往往要结合题意画出示意图，以便帮助我们直观、形象地理解题意例3】 摄制组从A市到B市有一天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃午饭由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了问A、B两市相距多少千米？(第五届华杯赛决赛试题)分析：本题条件中只有路程，没有时间和速度，因而应当仔细分析各段路程之间的关系解：如图，设小镇为D，傍晚 汽车在E 休息 A D C E B 由已知， AD是AC的三分之一，也就是AD =DC 又由已知，EB=CE 两式相加得：AD+ EB=DE因为DE=400千米，所以AD+ EB=´400=200千米，从而A、B两市相距400+200=600千米 评注：行程问题常通过画行程示意图来帮助我们思考。

例4】 有编号为①、②、③的3条赛艇，其在静水中的速度依次为每小时v1、v2、v3千米，且满足v1> v2> v3> v >0，其中v为河流的水流速度它们在河流上进行追逐赛，规则如下： (1) 3条赛艇在同一起跑线上同时出发，逆流而上，在出发的同时，有一浮标顺流而下； (2) 经过1小时，①、②、③号赛艇同时掉头，追赶浮标，谁先追上谁为冠军在整个比赛期间各艇的速度保持不变，则比赛的冠军为 解：经过1小时，①、②、③号赛艇同时掉头，掉头时，各艇与浮标的距离为： S i=(vi-v)´1+v´1= vi ´1(i=1、2、3) 第i号赛艇追上浮标的时间为：(小时)由此可见，掉头后各走1小时，同时追上浮标，所以3条赛艇并列冠军评注：顺流速度=静水速度+水流速度；逆流速度=静水速度-水流速度 【例5】在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动已知甲于第10秒钟时追上乙，在第30秒时追上丙，第60秒时甲再次追上乙，并且在第70秒时再次追上丙，问乙追上丙用了多少时间？(第11届希望杯竞赛培训题)解：设甲的运动速度是 乙的运动速度是，丙的运动速度是．设环形轨道长为L。

甲比乙多运动一圈用时50秒，故有－＝ ①甲比丙多运动一圈用时40秒，故有－＝ ②②－①可得到－＝－＝ ③ ④ ⑤甲、乙、丙初始位置时，乙、丙之间的距离＝甲、丙之间距离－甲、乙之间距离＝（－）×30－（ －）×10； 乙追上丙所用时间＝＝秒．所以第110秒时，乙追上丙．评注：相遇问题的关系式是：路程和=速度和´时间；追及问题的关系式是：追及路程=速度差´时间例6】 一个三位数，三个数位上的数字和为17，百位上的数比十位上的数大7，个位上的数是十位上数的3倍，求这个三位数解：设十位上的数为x，则个位上的数为3 x，百位上的数是x+7由题意得：3 x+x+ x+7=17，∴x=2∴这个三位数是：100(x+7)+10 x+3 x=926答：这个三位数是926评注：数字问题常设出数位上的数字，再用十进制把数表示出来例7】 两个三位整数，它们的和加1得1000，如果把大数放在小数的左边，并在这两数之间点上一个小数点，则所成的数正好等于把小数放在大数的左边，中间点一个小数点所成的数的6倍，求这两个数。

解：设大数为x，则小数为999-x，由题意得 解这个方程得：x=857, ∴999-x=142答：大数为857，小数为142例8】 一辆卡车在公路上匀速行驶，起初看到里程碑上的数字为，过了1小时里程碑上的数字为，又行驶了1小时里程碑上的数字为，求每次看到的数字和卡车的速度分析：相等关系是前一小时走的路程=后一小时走的路程解：依题意得：-=-，即+=2，所以 (10A+B)+(100A+B)=2(10B+A)，整理得6A=B因为A、B取1到9的自然数，所以只有A=1，B=6故3次看到的数字分别是16，61，106，卡车的速度为45千米/时评注：本题得到的是一个不定方程，通过A、B是1到9的自然数来求出A、B例9】 在黑板上从1开始，写出一组连续的自然数，然后擦去了一个数，其余的平均值为，试问擦去的数是什么数？分析：设出擦去的数，用平均值为来估计出写出的自然数，从而求出擦去的数解：设写出了n个自然数1，2，…，n中擦去的是k，则由题意得：即因为n是自然数，且n-1必须是17的倍数，所以n=69于是由，可解得k=7，即擦去的数为7评注：本题运用了放缩原理来得出n的范围，从而确定自然数n的值，放缩法是数学竞赛中常用的方法。

三、 巩固练习（一）选择题1、甲、乙二人从M地同时出发去N地，甲用一半的时间以每小时a千米的速度行走，另一半的时间以每小时b千米的速度行走；乙以每小时a千米的速度行走一半的路程，另一半路程以每小时b千米的速度行走若a≠b，则( )先到达N地A、甲 B、乙 C、二人同时到达 D、不确定2、已知游艇在静水中的航速为每小时10千米，某一旅游团乘该游艇在黄河顺水航行2小时，又用3小时返回出发地，求该团所走的航程是( )A、24千米 B、12千米 C、48千米 D、40千米3、某人从A地步行到B地，当走到预定时间时，离B地还有0.5千米；若把步行速度提高25%，则可比预定时间早半小时到达B地已知AB两地相距12.5千米，则某人原来步行的速度是( )A、2千米/时 B、4千米/时 C、5千米/时 D、6千米/时（二）解答题1、某校初中一年级举行数学竞赛，参加的人数是未参加人数的3倍，如果该年级学生减少6人，未参加的学生增加6人，那么参加与未参加竞赛的人数之比是2∶1．求参加竞赛的与未参加竟赛的人数及初中一年级的人数．解 设未参加的学生有x人，则根据分析，①，②两式应该相等，所以有方程(x+6)+2(x+6)=(x+3x)-6，　 解之得 x=24(人)．　　所以未参加竞赛的学生有24人，参加竞赛的小学生有3×24=72(人)．全年级有学生 4×24=96(人)．　2、 一队旅客乘坐汽车，要求每辆汽车的旅客人数相等．起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；如果有一辆汽车空着开走，那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上．已知每辆汽车最多只能容纳32人，求起初有多少辆汽车？有多少名旅客？解 设起初有汽车m辆，开走一辆空车后，平均每辆车所乘旅客为n人．由于m≥2，n≤32，依题意有 22m+1=n(m-1)．　　所以 　　因为n为自然数，所以23/m-1为整数，因此m-1=1，或m-1=23，　　即 m=2或m=24.　　当 m=2时，n=45(不合题意，舍去)；当m=24时，n=23(符合题意)．　　所以旅客人数为：n(m-1)=23×(24-1)=529(人)．　　答 起初有汽车24辆，有乘客529人．四、 小结应用问题是中学数学的重要内容．它与现实生活有一定的联系，它通过量与量的关系以及图形之间的度量关系，形成数学问题。

应用问题涉及较多的知识面，要求学生灵活应用所学知识，在具体问题中，从量的关系分析入手，设定未知数，发现等量关系列出方程，获得方程的解，并代入原问题进行验证这一系列的解题程序，要求对问题要深入的理解和分析，并进行严密的推理，因此对发展创造性思维有重要意义。