硕士研究生招生2013年《重庆理工大学》高等代数考试真题卷.pdf

重庆理工大学硕士研究生试题专用纸 重庆理工大学 2013 年攻读硕士学位研究生入学考试试题 学院名称：数学与统计学院 学科、专业名称：数学、统计学 考试科目（代码）：815 高等代数（A 卷）（试题共 4 页）注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一律无效2.试题附在考卷内交回一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）1.设)(xf为 复 数 域 上 没 有 重 根 的 多 项 式，则)(),(xfxf_ 2.设101102121tttA且齐次线性方程组Ax的解空间的维数为 2,则t_ 3.设矩阵114122001A,E为单位矩阵，则|23|*AE _ 4.设A为 3 阶实对称矩阵,且2)(,2AAA秩,则A的全部特征值为 _ 5.若实对称矩阵A与矩阵220210001B合同,则二次型AxxT的标准形为_ 二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）1.下列说法正确的是（）A、零多项式能整除任意多项式；B、数域F上的任一)0(nn次多项式都可以分解成F上的不可约多项 式的乘积；第 1 页 重庆理工大学硕士研究生试题专用纸 C、若多项式)(xf在数域F上可分解，则)(xf在F上有根；D、实数域R上的任意二次多项式都是可约的。

2.设23213213212592531xxxxxxxxx，则该线性方程组（）A、对任意都有解；B、仅当1时有解；C、仅当2时有解；D、仅当1时有解3.设A为nm阶矩阵，C为n阶可逆矩阵，sACrA)(,秩秩，则（）A、rs B、rs C、rs D、的关系不确定与rs 4.若数域F上向量空间V中的向量m,21线性相关，则（）A、)(,21mrr线性相关；B、)(,21mrr线性无关；C、对V中的任一向量1m，都有121,mm线性相关；D、对V中的任一向量1m，都有121,mm线性无关5.n阶实对称矩阵A是正定矩阵的充分必要条件是（）A、0|A B、A的所有特征值非负 C、nA秩 D、1A是正定矩阵 三、（12分）给 定 多 项 式42()4751f xxxx，32()2553g xxxx，（1）（5分）证明：(),()1f xg x 第 2 页 重庆理工大学硕士研究生试题专用纸（2）（7 分）若()()()f x g x h x，其中()()h xQ x，Q表示有理数域，且()h x的次数=()f x的次数，问能否求出()h x的有理根，若能，求()h x的所有有理根四、（12分）给定齐次线性方程组121212(1)02(2)20()0nnna xxxxa xxnxnxna x，（1）（8分）求已知齐次线性方程组的系数行列式；（2）（4 分）a取何值时，方程组有非零解？在有非零解时，确定其解空间的维数。

五、（14 分）已知4阶方阵1234(,)A，1234,均 为4维 列 向 量，其 中124,线 性 无 关，3122，12342，（1）（6分）求dim X AX；（2）（8分）求线性方程组AX的通解六、（16分）设矩阵A的伴随矩阵1100210001103009A，且 112ABABAE，（1）（6分）求A；（2）（10分）求矩阵B第 3 页 重庆理工大学硕士研究生试题专用纸 七、（16 分）给定向量组1(2,1,4,3)，2(1,1,6,6)，3(1,2,2,9)，4(1,1,2,7)，5(2,4,4,9)，（1）（10分）求生成子空间12345(,)L的维数及一个基；（2）（6 分）向量(1,0,1,2)是否属于12345(,)L，请说明理由八、（16分）设A是n阶方阵，且22AA（1）（4分）确定A可能的特征值；（2）（6分）证明：3AE可逆；（3）（6分）()(2)R AR AEn九、（16 分）设1234,是欧式空间4R的一个规范正交基，123,是4R的 一 个 向 量 组，112342，212344，3123438，123(,)WL，（1）（6分）证明：dim2W；（2）（10分）求123444在W中的正投影。

十、（18分）已知实二次型 2221231231 2(,)(1)(1)22(1)f xxxa xa xxa x x的秩2，（1）（8分）求a的值；（2）（10分）应用变量的正交变换，将123(,)f xxx化为标准形第 4 页 。