[研究生入学考试]数理统计第二章抽样分布24节三大分布.pdf

1第二章第二章 抽样分布抽样分布 及若干预备知识及若干预备知识2.4 2.4 统计上的三大分布统计上的三大分布22.4 2.4 统计上的三大分布统计上的三大分布记为记为定义定义2.4.1: 设设相互独立相互独立, 都服从都服从 标准正态分布标准正态分布N(0,1),则称随机变量：则称随机变量：nXXX,,,21所服从的分布为所服从的分布为自由度自由度为为 n 的的分布分布.2n 为为独立随机变量独立随机变量的个数的个数. .22.4.1 分布222 12nXXX 2~n是自由度为 的变量.2n 3122 210( )2(2)00 nxn nxexgxnx来定义来定义.其中伽玛函数其中伽玛函数通过积分通过积分10( ),0xe xdx( )设随机变量，则其概率密度函数为定理2~2.4.1:n4证明：证明：的联合密度函数为nXXX,,,21}21exp{)2(1),,,(12221 niinnxxxxf21210,( )()的分布函数为若ni inni iXxG xPXxnniixxndxdxxnii1 12 2/}21exp{)2(112   5作球坐标变换作球坐标变换112121211coscoscoscoscossinsinnnnxxx/2/211/2/2/21201[( )](2 ) 1[exp{}]2nnxnDddd1201exp{}2xn nCd12 01exp{}22nxnCyy dy( )nG x212 1/2 111( )exp{}(2 )2  ni inninn i xxG xx dxdx1( )nJD2令 y612 01exp{}22nxnCyy dyx 令121/[2( )]2nnnC122 '210( )( )2(2)00 nxn nnxexgxG xnx12 011exp{}22n nCyy dy12 /2011exp{}2( /2)2nxnyy dyn122( )2nnnC1122 02exp{}nnnCyy dy( )nG x( )nG x7分布的密度函数图形自由度依次分布的密度函数图形自由度依次 为为n=1,3,5,7=1,3,5,72 n n=1n=3n=5n=78n = = 1 1 时时, ,其密度函数其密度函数为为1 221,02( )0,0xx ex f xx 2468100.20.40.60.811.2n = = 2 2 时时, ,其密度函数其密度函数为为21,02( )0,0xex f xx  为参数为为参数为1 1/ /2 2的指数分布的指数分布. .2468100.10.20.30.4  10xxedx    Gamma 分布分布  ,        ,  设设是正常数是正常数, , 由积分由积分定义定义. . 如果如果 X 的密度是的密度是      1,00,0xxexfxx                  ,  则称则称X服从参数服从参数的的Gamma分布分布,   ~,X   记作记作 9   000xexfxx          这正是参数为这正是参数为的指数分布的指数分布说说 明明  E   1,  1 1、、当当时，时，即即1  此时此时10   122210 22 00nxnxexnfxx             此分布即为自由度此分布即为自由度 n 的的分布，分布，2 1 2  2 2、、如果如果，，，其中，其中 n 为为自然数，则有自然数，则有2n  1112),,(2N1 设设相互独立相互独立, 都服从正态分布都服从正态分布nXXX,,,21 则则2变量的性质变量的性质222 2 11() ~nin iX   2( )(12 )n tit  2 若若的特征函数为则X2~nX 13E(X)=n, D(X)=2n) 1 , 0(2NnnXL3 (可加性可加性) 设设且且Z1, Z2相互独立相互独立，则，则1222 12~,~nnZZ122 12~nnZZ   则则4 若若2~nX 5 则则若若2~nX 推广：推广：12221~(),1,2,, ,,~ki iiiki niZnikZ       且且相相互互独独立立 则则14性质性质2 2的证明：的证明：由特征函数定义，得由特征函数定义，得( )()itXtE e1()122 201 2(2)nit xnexdxn221(2) 2(2)1 2nnn nit 21 2nit122 201 2(2)nx itx nexe dxn15性质性质3 3的证明的证明( (特征函数法特征函数法) )：：由性质由性质2 2，得，得121( )1 2ntit222( )1 2ntit因为，因为，Z1 1, ,Z2 2相互独立，相互独立，因此，因此，Z1 1＋＋Z2 2的特征函数是的特征函数是12() 212( )( )( )1 2nntttit即：即： Z1 1＋＋Z2 2也服从开方分布，自由度为也服从开方分布，自由度为n1 1+ +n2 216性质性质3 3的证明的证明( (定义法定义法) )：：由定义知由定义知1222 112nZXXX1112222 212nnnnZXXX由由Z1 1, ,Z2 2相互独立知相互独立知122 12~nnZZ   其中, 112,,. . . ~(0,1)nXXX i i dN其中,, , 111212. . . ~(0,1)nnnnXXXi i dN,, , 1112121,,,. . . ~(0,1)nnnnXXXXXi i dN根据定义有根据定义有17性质性质4 4的证明的证明：法一：法一（（特征函数法特征函数法））( )()itXtE e()'(0)/E Xin22''(0)/(2)E Xin n由于由于'( )()itXtE iXe''22( )()itXtE i X e因此因此22()[ ()]2D XE XE Xn18性质性质4 4的证明的证明：法二（直接法）：法二（直接法）12,,,nXXX相互独立相互独立, ,设设21~(0,1)1,2,,nii iZXXNin则则2()0,()1,()1iiiE XD XE X 21ni iE ZEXn4()3iE X2422()() [ ()]2iiiD XE XE X 212ni iD ZDXn19记为记为T～～tn.所服从的分布为自由度为所服从的分布为自由度为 n的的 t 分布分布.定义定义2.4.3: 设设X～～N(0,1) ,, 且且X与与Y 相互独立相互独立，则称随机变量，则称随机变量nYXT t 分布又称分布又称学生氏学生氏(student)分布分布.2.4.2 分布t2~nY 是自由度为 的 变量.nt20定理定理2.4.2:设随机变量设随机变量T～～tn,则则T的密度函数的密度函数 为：为： 212 )1 () 2(] 2) 1[();(nnxnnnnxf 证明：证明：(X,Y)的联合密度函数为的联合密度函数为2212 22)2(2121),(xynneeynyxf0,2212 12 yeeycxyn)2(212121ncnx21nYUnYXT，令22,|| 2XTUYnUJnU则，所以所以(T,U)的联合密度函数为的联合密度函数为222() 2 2( , )( ,)||,0n tu ng t uf tu nuJc u eu2122 )2(2121nnnnc 220,|| ),(),(2)(2222 ueucJnutufutgutn nT的密度函数为：的密度函数为： 22() 2 20( , ),0n tu nf t ncu eduuyutn 222）（设112 22 01(1),( /2)nn ytye dynnn212 )1 ()2(]2) 1[(nntnnn23形状形状: :中间高中间高, ,两边低两边低, ,左右对称左右对称. .当当n充分大时充分大时，，t 分布分布近似近似N(0,1)分布分布. 但对于较小的但对于较小的n，，t分布与分布与 N (0,1)分布相差很大分布相差很大.t分布的图形分布的图形( (红色的是标准正态分布红色的是标准正态分布) )n = = 1 1n= =2020-3-2-11230.10.20.30.424t(2)与与N(0,1)概率密度曲线的对比概率密度曲线的对比25t(20)与与N(0,1)概率密度曲线的对比概率密度曲线的对比26   22,1lime( )2unnnpuu     特特别别, 当, 当时时 有有33, ( )(0,1) .33, ( )nt nN n x    当当时时分分布布的的密密度度和和 的的密密度度几几乎乎没没有有差差别别而而且且当当时时 对对标标准准正正态态密密度度函函数数有有sup( )( )0.0041n xpxx 273 当当n充分大充分大时，其图形类似于时，其图形类似于标准正态标准正态 分布分布密度函数的图形密度函数的图形. ( ; )0 xlim f x n 1 t分布的密度函数分布的密度函数关于关于x=0对称对称，且，且性质性质 221,lime2即：当时 有 tnnf t2 当当n= =1 1时时, ,其密度函数其密度函数为为21( ),(1)f xxx 此时此时，，t分布就是柯西分布分布就是柯西分布.28特例特例T~tn数学期望和方差数学期望和方差为为:E(T)=0; D(T)=n/(n-2) , 对对n >2 24~,1,,()0 ()[(1)/2] [()/2] (1/2) ( /2)设则对存在，且是奇数是偶数 r nrrTt nrn E Xr E Trnrnrn29性质性质4的证明的证明22()(/)rr rrE Tn E XY])[()2(2212 02 22 dyeyyXEnnynr r nr)()(22r rr YEXEn)(rXEdyeydyeyyyrnynr 2 012212 02dyeyyrnrn   01222)2(22rnrn是奇数是偶数rrrr0)21(212 30其分布称为其分布称为自由度为自由度为m和和n的的F分布，记作分布，记作2.。