高二数学培优讲义空间向量的运算及空间位置关系.doc

第八讲 空间向量的运算及空间位置关系教学目标：1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置．2.会推导空间两点间的距离公式．3.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.一、 知识回顾 课前热身知识点1．空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系名称内容空间直角坐标系以空间一点O为原点，具有相同的单位长度，给定正方向，建立三条两两垂直的数轴：x轴、y轴、z轴，这时建立了一个空间直角坐标系O－xyz.坐标原点点O坐标轴x轴、y轴、z轴坐标平面通过每两个坐标轴的平面(2)右手直角坐标系的含义：当右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向时，中指指向z轴的正方向．(3)空间中点M的坐标：空间中点M的坐标常用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．建立了空间直角坐标系后，空间中的点M和有序实数组(x，y，z)可建立一一对应的关系．知识点2．空间两点间的距离(1)设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝.特别地，点P(x，y，z)与坐标原点O的距离为|OP|＝.(2)设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)是空间中两点，则线段AB的中点坐标为.知识点3．空间向量的概念及运算空间向量的概念及运算同平面向量基本相同．加减运算遵循三角形或平行四边形法则；数乘运算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算相同；坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标知识点4．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．知识点5．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则角∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．通常规定0≤〈a，b〉≤π.若〈a，b〉＝，则称向量a，b互相垂直，记作a⊥b.(2)两向量的数量积：两个非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(3)向量的数量积的性质：①a·e＝|a|cos〈a，e〉；②a⊥b⇔a·b＝0；③|a|2＝a·a＝a2；④|a·b|≤|a||b|.(4)向量的数量积满足如下运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)；②a·b＝b·a(交换律)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．知识点6．空间向量的坐标运算(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3.a⊥b⇔a1b2＋a2b2＋a3b3＝0；a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；cos〈a，b〉＝＝ .(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．例题辨析 推陈出新[例1]　已知点M(3,2,1)，N(1,0,5)，求：(1)线段MN的长度；(2)到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件．[自主解答]　(1)根据空间两点间的距离公式得线段MN的长度MN＝＝2，所以线段MN的长度为2.(2)因为点P(x，y，z)到M，N的距离相等，所以有＝，化简得x＋y－2z＋3＝0，因此，到M，N两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件是x＋y－2z＋3＝0.变式练习1．已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，求|MN|.解：如图，以A为原点，AB，AC，AA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则B(2,0,0)，C1(0,2,2)，A1(0,0,2)，B1(2,0,2)，∴N(1,0,2)，M(1,1,1)，∴|MN|＝＝.[例2]　(1)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．①化简－－＝________；②用，，表示，则＝________.(2)向量a＝(3,5，－4)，b＝(2,1,8)．计算2a＋3b,3a－2b的值．[自主解答]　(1)①－－＝－(＋)＝－＝＋＝.②＝＝(＋)，∴＝＋＝(＋)＋＝＋＋.(2)解：2a＋3b＝2(3,5，－4)＋3(2,1,8)＝(6,10，－8)＋(6,3,24)＝(12,13,16)．3a－2b＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(9,15，－12)＋(4,2,16)＝(13,17,4)．[答案]　(1)①　②＋＋本例中(1)条件不变，结论改为：设E是棱DD1上的点，且＝，若＝x＋y＋z，试求x，y，z的值．解：＝＋＝－＋(＋)＝－－＋，由条件知，x＝－，y＝－，z＝.　　变式练习2.如图所示，已知空间四边形ABCD中，向量＝a，＝b，＝c，若M为BC中点，G为△BCD的重心，试用a、b、c表示下列向量：(1)；(2) .解：(1)在△ADM中，＝＋，由线段中点的向量表示知＝(＋)＝(a＋b)，由相反向量的概念知＝－＝－c.所以＝＋＝(a＋b)－c＝(a＋b－2c)；(2)由三角形重心的性质，得＝＋＝c＋＝c＋＝c＋(－＋－)＝c＋(a＋b－2c)＝(a＋b＋c)．[例3]　已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量法证明：(1)E，F，G，H四点共面；(2)BD∥平面EFGH.[自主解答]　(1)连接BG，则＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面．(2)因为＝－＝－＝(－)＝，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.变式练习3．证明三个向量a＝－e1＋3e2＋2e3，b＝4e1－6e2＋2e3，c＝－3e1＋12e2＋11e3共面．证明：若e1，e2，e3共面，显然a，b，c共面；若e1，e2，e3不共面，设c＝λa＋ub，即－3e1＋12e2＋11e3＝λ(－e1＋3e2＋2e3)＋u(4e1－6e2＋2e3)，整理得－3e1＋12e2＋11e3＝(4u－λ)e1＋(3λ－6u)e2＋(2λ＋2u)e3.由空间向量基本定理可知解得即c＝5a＋b，则三个向量共面.[例4]　如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1，底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．(1)求BN的长；(2)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值；(3)求证：A1B⊥C1M.[自主解答]　(1)||2＝·＝(＋)·(＋)＝||2＋||2＋2·＝2＋1＝3，∴||＝.(2)∵·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝·1·cos 135°＋0＋0＋4＝3，又∵||2＝(＋)2＝||2＋2·＋||2＝2＋0＋4＝6，∴||＝.又∵||2＝(＋)2＝||2＋2·＋||2＝1＋0＋4＝5，∴||＝.∴cos〈，〉＝＝＝，∴异面直线BA1与CB1所成角的余弦值为.(3)证明：·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝0＋0＋1··cos 135°＋··cos 0°＝0.∴⊥，∴A1B⊥C1M.变式练习4．已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)．设a＝，b＝，(1)求a和b的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．解：∵A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，a＝，b＝，∴a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)．(1)cos θ＝＝＝－，∴a和b的夹角θ的余弦值为－.(2)∵ka＋b＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，且(ka＋b)⊥(ka－2b)，∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝2k2＋k－10＝0.则k＝－或k＝2.三、 归纳总结 方法在握归纳2个原则——建立空间直角坐标系的原则(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直；(2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上．1个方法——利用向量法求解立体几何问题的一般方法利用向量解立体几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算或证明去解决问题．在这里，恰当地选取基底可使向量运算简捷，或者是建立空间直角坐标系，使立体几何问题成为代数问题．另外，熟练准确地写出空间中任一点的坐标是解决问题的基础．1个注意点——空间向量数量积计算的一个注意点空间向量的数量积的计算要充分利用向量所在图形，巧妙地进行向量的分解与合成，分解时并不是漫无目的的，而要充分利用图形的特点及其含有的特殊向量，这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知模的向量. 四、 拓展延伸 能力升华如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)AE⊥CD；(2)PD⊥平面ABE.证明：AB、AD、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，设PA＝AB＝BC＝1，则P(0,0,1)．(1)∵∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形．∴C，E.设D(0，y,0)，由AC⊥CD，得·＝0，即y＝，则D，∴＝.又＝，∴·＝－×＋×＝0，∴⊥，即AE⊥CD.(2)法一：∵P(0,0,1)，∴＝.又·＝×＋×(－1)＝0，∴⊥，即PD⊥AE.∵＝(1,0,0)，∴·＝0.∴PD⊥AB，又AB∩AE＝A，∴PD⊥平面AEB.法二：＝(1,0,0)，＝，设平面ABE的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令y＝2，则z＝－，∴n＝(0,2，－)．∵＝，显然＝n.∵∥n，∴⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE. 变式练习正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为面A1B1C1D1的中心，求证：AP⊥B1P.证明：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设棱长为1，则A(1,0,0)，B1(1,1,1)，P，由两点间的距离公式得|AP|＝ ＝，|B1P|＝ ＝，|AB1|＝ ＝，∴|AP|2＋|B1P|2＝|AB1|2，∴AP⊥B1P.五、 课后作业 巩固提高一、选择题1．已知点A(－3,0，－4)，点A关于原点的对称点为B，则|AB|等于(　　)A．12　　　　　　　　　　　 B．9C．25 D．10解析：选D　点A关于原点对称。