柱、锥、台的表面积与体积教案.docx

第一章空间立体几何初步1.3 空间几何体的表面积与体积1.3.1柱、锥、台的表面积与体积一、学习目标1．知识与技能(1)理解正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积及表面积的定义．(2)了解圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的计算公式．能够运用柱、锥、台的表面积与体积公式求简单几何体的表面积与体积．(重点)(3)了解球的表面积与体积公式.(4)会解决球的组合体及三视图中球的有关问题．(难点)2．过程与方法(1)让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状． (2)让学生通过对照比较，发现柱体、锥体、台体三者间体积的关系． (3)通过作轴截面，寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系． 3．情感、态度与价值观使学生通过表面积与体积公式的探究过程，体会数学的转化和类比的思想，从而增强学习的积极性．二、重点、难点重点：棱柱、棱锥、棱台和球的表面积计算．难点：棱台的表面积公式的推导．重难点突破：先从学生熟悉的正方体和长方体的展开图为切入点，分析几何体的展开图与其表面积的关系，然后通过“探究”和“思考”引导学生归纳棱柱、棱锥和棱台的表面积公式，并让学生熟悉并掌握球的表面积公式．三、教学方法类比、练习、自学四、专家建议通过对柱、锥、台的表面积与体积的学习探究，明确柱体、锥体、台体三者间体积的关系，明确表面积与体积公式的探究过程，体会数学的转化和类比的思想。

五、教学过程●新知探究知识点1 棱柱、棱锥、棱台的表面积【问题导思】　1．正方体与长方体的展开图如下图(1)(2)所示，则相应几何体的表面积与其展开图的面积有何关系.【提示】　相等．2．棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等.【提示】　是．　棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积．知识点2 圆柱、圆锥、圆台的表面积【问题导思】　　圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别如图中(1)、(2)、(3)所示．1．上述几何体侧面展开图的面积与该几何体的表面积相等吗.【提示】　不相等．2．如何计算上述几何体的表面积.【提示】　几何体的表面积等于侧面积与底面积之和．　圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱(底面半径为r，母线长为l)圆锥(底面半径为r，母线长为l)圆台(上、下底面半径为r′，r，母线长为l)底面积S底＝πr2S底＝πr2S底＝π(r′2＋r2)侧面积S侧＝2πrlS侧＝πrlS侧＝π(r′l＋rl)表面积S表＝2πr(r＋l)S表＝πr(r＋l)S表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)知识点3 柱体、锥体、台体的体积【问题导思】　1．正方体、长方体、圆柱的体积公式如何表示.【提示】　V＝Sh，其中S为底面面积，h为高．2．上述体积公式对所有柱体都适用吗.【提示】　都适用．1．祖暅原理(1)“幂势既同，则积不容异”，即“夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．(2)作用：等底面积、等高的两个柱体或锥体的体积相等. (3)说明：祖暅原理充分体现了空间与平面问题的相互转化思想，是推导柱、锥、台体积公式的理论依据．2．柱、锥、台、球的体积其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底面圆的半径，R表示球的半径．名称体积(V)柱体棱柱Sh圆柱πr2h锥体棱锥Sh圆锥πr2h台体棱台h(S＋＋S′)圆台πh(r2＋rr′＋r′2)●典例分析类型1 求棱柱、棱锥、棱台的表面积例1.已知正四棱锥底面边长为4，高与斜高夹角为30°.求它的侧面积和表面积．【分析】根据多面体的侧面积公式，可以先求出相应多面体的底面边长和各侧面的斜高，进而由公式求解．【解析】　如图所示，设正四棱锥的高为PO，斜高为PE，底面边心距为OE，它们组成一个直角三角形POE.∵OE＝＝2，∠OPE＝30°，∴PE＝＝＝4.∴S正四棱锥侧＝ch′＝×(4×4)×4＝32，S表面积＝42＋32＝48.即该正四棱锥的侧面积是32，表面积是48.方法总结：1．要求锥体的侧面积及表面积，要利用已知条件寻求公式中所需的条件，一般用锥体的高、斜高、底面边心距等量组成的直角三角形求解相应的量．2．空间几何体的表面积运算，一般是转化为平面几何图形的运算，往往通过解三角形来完成．变式训练：(2013·XX高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．180B．200C．220 D．240【解析】　由三视图知识知该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱．等腰梯形的上底长为2，下底长为8，高为4，腰长为5，直四棱柱的高为10，所以S底＝×(8＋2)×4×2＝40，S侧＝10×8＋10×2＋2×10×5＝200，S表＝40＋200＝240，故选D.【答案】　D类型2 求圆柱、圆锥、圆台的表面积图1－1－64例2．如图1－1－64所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．【分析】【解析】以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm，下底半径是16 cm，母线DC＝＝13 (cm)．∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm2)．方法总结：1．圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键．2．棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解．变式训练：　在题设条件不变的情况下，求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．【解】　以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图所示：其中圆锥的高为16－4＝12(cm)，圆柱的母线长为AD＝4 cm，故该几何体的表面积为：2π×5×4＋π×52＋π×5×13＝130π(cm2)．类型三求柱体的体积例3．(2014·XX高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A．72 cm3B．90 cm3C．108 cm3D．138 cm3【分析】【解析】该几何体为一个组合体，左侧为三棱柱，右侧为长方体，如图所示．V＝V三棱柱＋V长方体＝×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm3)．【答案】　B方法总结：1．解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据．2．若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和．变式训练：　一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是()A．16＋4B．12＋4C．8 D．4【解析】　由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的体积为×2×2×2＝4，选D.【答案】　D类型4 求锥体的体积例4.如图三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比．【分析】―→―→―→―→【解析】　设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.∴VA1－ABC＝S△ABC·h＝Sh，VC－A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh.又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，∴VB－A1B1C＝V台－VA1－ABC－VC－A1B1C1＝Sh－－＝Sh，∴体积比为1∶2∶4.方法总结：　三棱柱、三棱台可以分割成三个三棱锥，分割后可求锥体的体积和柱体或台体的体积关系，割补法在立体几何中是一种重要的方法．变式训练：　在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是()A.B.C.D.【解析】　如图，去掉的一个棱锥的体积是××＝，剩余几何体的体积是1－8×＝.【答案】　D类型5 求台体的体积例5.已知正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积是780 cm2.求正四棱台的体积．【分析】可以尝试借助四棱台内的直角梯形．求出棱台底面积和高，从而求出体积．【解析】如图所示，正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，A1B1＝10 cm，AB＝20 cm.取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E是侧面ABB1A1的高．设O1、O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1是直角梯形．由S侧＝4×(10＋20)·E1E＝780，得EE1＝13，在直角梯形EOO1E1中，O1E1＝A1B1＝5，OE＝AB＝10，∴O1O＝＝12，V正四棱台＝×12×(102＋202＋10×20)＝2 800 (cm3)．故正四棱台的体积为2 800 cm3.方法总结：　求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高．要注意充分运用棱台内的直角梯形或圆台的轴截面寻求相关量之间的关系．变式训练：本例若改为“正四棱台的上、下两底的底面边长分别为2 cm和4 cm，侧棱长为2 cm，求该棱台的体积．”【解】　如图，正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，上、下底面边长分别为2 cm和4 cm，则O1B1＝ cm，OB＝2 cm，过点B1作B1M⊥OB于点M，那么B1M为正四棱台的高，在Rt△BMB1中，BB1＝2 cm，MB＝(2－)＝ (cm)．根据勾股定理MB1＝＝＝(cm)．S上＝22＝4 (cm2)，S下＝42＝16(cm2)，∴V正四棱台＝××(4＋＋16)＝××28＝ (cm3)．六、课堂总结一、柱、锥、台的表面积1．如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的表面积S表＝2(ab＋bc＋ac)；如果正方体的棱长为a，那么它的表面积为S表＝6a2.2．求棱锥的表面积，可以先求侧面积，再求底面积．求侧面积，要清楚各侧面三角形的形状，并找出求其面积的条件．求底面积，要清楚底面多边形的形状及求其面积的条件．3．求棱台的侧面积时要注意利用公式及正棱台中的直角梯形，它是架起求侧面积关系式中的未知量与满足题目条件中几何图形元素间关系的桥梁．二、柱、锥、台的体积1．计算柱体、锥体和台体的体积时，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．旋转体的轴截面是用过旋转轴的平面去截旋转体而得到的截面．例如，圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是三角形，圆台的轴截面是梯形．2．在求不规则的几何体的体积时，可利用分割几何体或补全几何体的方法转化为柱、锥、台的体积计算问题．七、板书设计柱、锥、台的表面积与体积小结：作业当堂检测反馈典例分析例1例2例3例4学生练习知识点解析1.棱柱、棱锥、棱台的表面积2.圆柱、圆锥、圆台的表面积3. 柱体、锥体、台体的体积注意事项：1．2．3.学习目标(1)理解正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积及表面积的定义．(2)了解圆柱、圆锥、圆台的表面积与体积的计算公式．能够运用柱、锥、台的表面积与体积公式求简单。