第二课时 导数与函数的极值、最值第二课时 导数与函数的极值、最值 专题概述专题概述函数的最大值、最小值是比较整个定义域内的函数值得出来的函数的最大值、最小值是比较整个定义域内的函数值得出来的, ,函数的极值是函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的比较极值点附近的函数值得出来的, ,函数的极值可以有多个函数的极值可以有多个, ,但最大但最大( (小小) )值只值只有一个有一个, ,极值只能在区间内一点处取得极值只能在区间内一点处取得, ,最值可以在端点处取得最值可以在端点处取得, ,有极值未必有有极值未必有最值最值, ,有最值也未必有极值有最值也未必有极值, ,极值可能成为最值极值可能成为最值. . 考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一 求函数的极值或极值点考点一 求函数的极值或极值点【【例例1 1】】 (2018(2018·哈尔滨模拟哈尔滨模拟) )已知函数已知函数f(x)=ln x-ax(a∈f(x)=ln x-ax(a∈R R).).(1)(1)当当a= a= 时时, ,求求f(x)f(x)的极值的极值; ; →→→→ (2)(2)讨论函数讨论函数f(x)f(x)在定义域内极值点的个数在定义域内极值点的个数. . 反思归纳反思归纳求函数求函数f(x)f(x)极值的步骤极值的步骤: :(1)(1)确定函数的定义域确定函数的定义域; ;(2)(2)求导数求导数f′(x);f′(x);(3)(3)解方程解方程f′(x)=0,f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根求出函数定义域内的所有根; ;(4)(4)列表检验列表检验f′(x)f′(x)在在f′(x)=0f′(x)=0的根的根x x0 0左右两侧值的符号左右两侧值的符号. .如果左正右负如果左正右负, ,那那么么f(x)f(x)在在x x0 0处取极大值处取极大值; ;如果左负右正如果左负右正, ,那么那么f(x)f(x)在在x x0 0处取极小值处取极小值. . 【【跟踪训练跟踪训练1 1】】 (1) (1)(2018(2018·合肥一模合肥一模) )函数函数y=f(x)y=f(x)导函数的图象如图所示导函数的图象如图所示, ,则则下列说法错误的是下列说法错误的是( ( ) )(A)(-1,3)(A)(-1,3)为函数为函数y=f(x)y=f(x)的递增区间的递增区间(B)(3,5)(B)(3,5)为函数为函数y=f(x)y=f(x)的递减区间的递减区间(C)(C)函数函数y=f(x)y=f(x)在在x=0x=0处取得极大值处取得极大值(D)(D)函数函数y=f(x)y=f(x)在在x=5x=5处取得极小值处取得极小值解析解析: :(1)(1)由函数由函数y=f(x)y=f(x)的导函数的导函数f′(x)f′(x)的图象知的图象知, ,当当x<-1x<-1及及35x>5时时,f′(x)>0,f(x),f′(x)>0,f(x)单调递增单调递增. .所以所以f(x)f(x)的单调减区间为的单调减区间为(-∞,-1),(3,5);(-∞,-1),(3,5);单调增区间为单调增区间为(-1,3),(5,+∞).(-1,3),(5,+∞).f(x)f(x)在在x=-1,5x=-1,5处取得极小值处取得极小值, ,在在x=3x=3处取得极大值处取得极大值, ,因此因此C C不正确不正确. .故选故选C.C. 反思归纳反思归纳求函数求函数f(x)f(x)在在[a,b][a,b]上的最大值和最小值的步骤上的最大值和最小值的步骤: :第一步第一步, ,求函数在求函数在(a,b)(a,b)内的极值内的极值; ;第二步第二步, ,求函数在区间端点处的函数值求函数在区间端点处的函数值f(a),f(b);f(a),f(b);第三步第三步, ,将函数将函数f(x)f(x)的各极值与的各极值与f(a),f(b)f(a),f(b)比较比较, ,其中最大的一个为最大值其中最大的一个为最大值, ,最最小的一个为最小值小的一个为最小值. . 【【跟踪训练跟踪训练2 2】】 (2018(2018·合肥一中月考合肥一中月考) )已知函数已知函数f(x)=ef(x)=ex xcos x-x.cos x-x.(1)(1)求曲线求曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(0,f(0))(0,f(0))处的切线方程处的切线方程; ;解解: :(1)(1)因为因为f(x)=ef(x)=ex x·cos x-x,cos x-x,所以所以f(0)=1,f(0)=1,f′(x)=ef′(x)=ex x(cos x-sin x)-1,(cos x-sin x)-1,所以所以f′(0)=0,f′(0)=0,所以所以y=f(x)y=f(x)在在(0,f(0))(0,f(0))处的切线方程为处的切线方程为y-1=0y-1=0·(x-0),(x-0),即即y=1.y=1. 考点三 由函数的极考点三 由函数的极( (最最) )值求参数值求参数( (范围范围) )【【例例3 3】】 (2018 (2018·北京卷北京卷) )设函数设函数f(x)=[axf(x)=[ax2 2-(4a+1)x+4a+3]e-(4a+1)x+4a+3]ex x. .(1)(1)若曲线若曲线y=f(x)y=f(x)在点在点(1,f(1))(1,f(1))处的切线与处的切线与x x轴平行轴平行, ,求求a;a;解解: :(1)(1)因为因为f(x)=[axf(x)=[ax2 2-(4a+1)x+4a+3]e-(4a+1)x+4a+3]ex x, ,所以所以f′(x)=[axf′(x)=[ax2 2-(2a+1)x+2]e-(2a+1)x+2]ex x. .f′(1)=(1-a)e.f′(1)=(1-a)e.由题设知由题设知f′(1)=0,f′(1)=0,即即(1-a)e=0,(1-a)e=0,解得解得a=1.a=1.此时此时f(1)=3e≠0.f(1)=3e≠0.所以所以a a的值为的值为1.1. (2)(2)若若f(x)f(x)在在x=2x=2处取得极小值处取得极小值, ,求求a a的取值范围的取值范围. . 反思归纳反思归纳可导函数在极值点处的导数一定为零可导函数在极值点处的导数一定为零, ,但导数为零的点不一定是极值点但导数为零的点不一定是极值点, ,是是极值点时也要注意是极大值点还是极小值点极值点时也要注意是极大值点还是极小值点, ,因此由极值求参数必须检验导因此由极值求参数必须检验导函数零点左右两侧的符号函数零点左右两侧的符号. . 解析解析: :由题由题f′(x)=xf′(x)=x2 2+2x+1-a+2x+1-a2 2, ,令令f′(x)=0f′(x)=0可得可得x=a-1x=a-1或或x=-a-1,x=-a-1,当当a=0a=0时时f′(x)≥0f′(x)≥0在在R R上恒成立上恒成立, ,f(x)f(x)在在R R上单调递增上单调递增, ,在在(0,1)(0,1)内不存在最小值内不存在最小值; ;当当a a> >0 0时时, ,f f( (x x) )在在( (- -∞∞, ,- -a a- -1 1) )和和( (a a- -1 1, ,+ + ∞∞) )上上单单调调递递增增 , ,在在( (- -a a- -1 1, ,a a- -1 1) )上上单单调调递递减减, ,根根据据题题意意此此时时 0 0< 0),c≤v≤15(c>0),求当下潜速度求当下潜速度v v取什么值时取什么值时, ,总用氧量最少总用氧量最少. . 反思归纳反思归纳(1)(1)利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤①①建模建模: :分析实际问题中各量之间的关系分析实际问题中各量之间的关系, ,列出实际问题的数学模型列出实际问题的数学模型, ,写出实际写出实际问题中变量之间的函数关系式问题中变量之间的函数关系式y=f(x).y=f(x).②②求导求导: :求函数的导数求函数的导数f′(x),f′(x),解方程解方程f′(x)=0.f′(x)=0.③③比较函数在区间端点和比较函数在区间端点和f′(x)=0f′(x)=0的点的函数值的大小的点的函数值的大小, ,最大最大( (小小) )者为最大者为最大( (小小) )值值; ;④④回归实际问题作答回归实际问题作答. .(2)(2)如果目标函数在定义域内只有一个极值点如果目标函数在定义域内只有一个极值点, ,那么根据实际意义该极值点就那么根据实际意义该极值点就是最值点是最值点. . (2)(2)求售价为多少时求售价为多少时, ,年利润最大年利润最大, ,并求出最大年利润并求出最大年利润. .解解: :(2)y′=-6x(2)y′=-6x2 2+66x-108+66x-108=-6(x=-6(x2 2-11x+18)-11x+18)=-6(x-2)(x-9).=-6(x-2)(x-9).令令y′=0,y′=0,得得x=2(x=2(舍去舍去) )或或x=9,x=9,显然显然, ,当当x∈(6,9)x∈(6,9)时时,y′>0;,y′>0;当当x∈(9,11)x∈(9,11)时时,y′<0.,y′<0.所以函数所以函数y=-2xy=-2x3 3+33x+33x2 2-108x-108-108x-108在在(6,9)(6,9)上是递增的上是递增的, ,在在(9,11)(9,11)上是递减的上是递减的. .所以当所以当x=9x=9时时,y,y取最大值取最大值, ,且且y ymaxmax=135,=135,所以售价为所以售价为9 9元时元时, ,年利润最大年利润最大, ,最大年利润为最大年利润为135135万元万元. . 备选例题备选例题 【【例例2 2】】 设设f(x)=xln x-axf(x)=xln x-ax2 2+(2a-1)x(+(2a-1)x(常数常数a>0).a>0).(1)(1)令令g(x)=f′(x),g(x)=f′(x),求求g(x)g(x)的单调区间的单调区间; ; (2)(2)已知已知f(x)f(x)在在x=1x=1处取得极大值处取得极大值, ,求实数求实数a a的取值范围的取值范围. . (2)(2)当当a=-1a=-1时时, ,函数函数g(x)=f(x)-xeg(x)=f(x)-xex x+x+x的最大值为的最大值为m,m,求不超过求不超过m m的最大整数的最大整数. . (2)(2)若对若对∀∀x>0,x>0,不等式不等式f(x)≤g(x)f(x)≤g(x)成立成立, ,求实数求实数a a的取值范围的取值范围. . 当当x∈(0,1)x∈(0,1)时时,e,ex x(x-1)+ln x+x(x-1)+ln x+x2 2-1<0,-1<0,即即h′(x)<0,h(x)h′(x)<0,h(x)单调递减单调递减; ;x∈(1,+∞)x∈(1,+∞)时时,e,ex x(x-1)+ln x+x(x-1)+ln x+x2 2-1>0,-1>0,即即h′(x)>0,h(x)h′(x)>0,h(x)单调递增单调递增. .因此因此x=1x=1为为h(x)h(x)的极小值点的极小值点, ,即即h(x)≥h(1)=e+1,h(x)≥h(1)=e+1,故故a≤e+1.a≤e+1.即实数即实数a a的取值范围为的取值范围为(-∞,e+1].(-∞,e+1]. 点击进入点击进入 应用能力提升应用能力提升 。
