中考3.第三节一元二次方程课件.ppt

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(人教九上人教九上P16－－17习题习题)按要求解下列一元二次方程：按要求解下列一元二次方程：(1)4x2＝＝81(直接开平方法直接开平方法)；； 4x2＝＝81x2＝＝ ，，∴∴x1＝＝ ，，x2＝－＝－第三节　一元二次方程第三节　一元二次方程返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录(2)x2－－2x－－1＝＝0(配方法配方法)；；x2－－2x＝＝1，，x2－－2x＋＋1＝＝1＋＋1，，(x－－1)2＝＝2，，x－－1＝＝± ，，∴∴x1＝＝ ＋＋1，，x2＝－＝－ ＋＋1第三节　一元二次方程第三节　一元二次方程返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录(3)x(x－－4)＝＝2－－8x(公式法公式法)；；x(x－－4)＝＝2－－8xx2－－4x＝＝2－－8x，，x2＋＋4x－－2＝＝0，，b2－－4ac＝＝42－－4×1×(－－2)＝＝24＞＞0，，∴∴x＝＝ ，，∴∴x1＝－＝－2－－ ，，x2＝－＝－2＋＋第三节　一元二次方程第三节　一元二次方程返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录(4)3x(x－－1)＝＝2(x－－1)(因式分解法因式分解法)．．3x(x－－1)＝＝2(x－－1)3x(x－－1)－－2(x－－1)＝＝0(3x－－2)(x－－1)＝＝0∴∴x1＝＝ ，，x2＝＝1第三节　一元二次方程第三节　一元二次方程返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录考点考点2一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式概念概念一元二次方程一元二次方程ax2＋＋bx＋＋c＝＝0(a≠0)的根的判的根的判别式式为b2－－4ac根的情根的情况与判况与判别式的关系别式的关系1.当当b2－－4ac>0⇔⇔方程有方程有____________的实数根；的实数根；2.当当b2－－4ac________0⇔⇔方程有两个相等的方程有两个相等的实数根；数根；3.当当b2－－4ac________0⇔⇔方程没有方程没有实数根数根 两个不相等两个不相等＝＝＜＜第三节　一元二次方程第三节　一元二次方程返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录【【提分要点提分要点】】1.若一元二次方程有若一元二次方程有实数根，数根，则b2－－4ac≥0；；2.根的判根的判别式的两个作用：式的两个作用：(1)不解方程，直接判断一元二次方程根的情况；不解方程，直接判断一元二次方程根的情况；(2)根据方程根的情况，确定某个未知系数的根据方程根的情况，确定某个未知系数的值(或取或取值范范围)．当二次．当二次项系数系数含有未知数含有未知数时，要考，要考虑二次二次项系数不系数不为0的条件的条件第三节　一元二次方程第三节　一元二次方程返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录2. (2020信阳模拟信阳模拟)不解方程，判断一元二次方程不解方程，判断一元二次方程2x2＋＋3x－－4＝＝0的根的情况是的根的情况是(　　　　)A. 有两个相等的实数根有两个相等的实数根B. 没有实数根没有实数根C. 有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根D. 以上都不对以上都不对3. 关于关于x的一元二次方程的一元二次方程x2－－4x＋＋3m＝＝0有两个相等的实数根，则有两个相等的实数根，则m＝＝________．．C第三节　一元二次方程第三节　一元二次方程返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录考点考点3一元二次方程的实际应用一元二次方程的实际应用变化率变化率问题问题 设设a为原来量，为原来量，m为平均增长率，为平均增长率，2为增长次数，为增长次数，b为增长后的量，为增长后的量，则则________________；当；当m为平均下降率，为平均下降率，2为下降为下降次数，次数，b为下为下降后的量，则降后的量，则________________面积面积问题问题 1.如图如图①①，设空白部分的宽为，设空白部分的宽为x，则，则S阴影阴影＝＝____________；；2.如如图②②、、图③③、、图④④，，S阴影阴影＝＝_________；； 图图①①a(1＋＋m)2＝＝ba(1-m)2＝＝b(a-2x)(b-2x)(a-x)(b-x)第三节　一元二次方程第三节　一元二次方程返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录面积面积问题问题3.如如图⑤⑤，围栏总长为，围栏总长为a，，BC的的长为b，，则S阴影阴影＝＝________________ 循环赛循环赛问题问题若若n(n≥≥2)个人个人(或球队数或球队数)，相互之间握手，相互之间握手(或单循环赛或单循环赛)，则握手，则握手(或单循环赛或单循环赛)总次数＝总次数＝________________________，，n(n≥≥2)个人相互赠送礼物，个人相互赠送礼物，则礼物总份数＝则礼物总份数＝n(n－－1)第三节　一元二次方程第三节　一元二次方程返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录每每每每问题问题1.常用公式：利润＝售价－成本；总利润＝每件利润常用公式：利润＝售价－成本；总利润＝每件利润××销售量；销售量；2.每每每每问题中，中，单价每价每涨a元，少元，少卖b件，若件，若涨价价y元，元，则少少卖的的数量数量为：： 第三节　一元二次方程第三节　一元二次方程返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录4. 某公司某公司2017年的营业额是年的营业额是100万元，万元，2019年的营业额为年的营业额为121万元，设该公司年万元，设该公司年营业额的平均增长率为营业额的平均增长率为x，根据题意可列方程为，根据题意可列方程为(　　　　)A. 100(1＋＋x)2＝＝121B. 100(1－－x)2＝＝121C. 121(1＋＋x)2＝＝100D. 121(1－－x)2＝＝100A第三节　一元二次方程第三节　一元二次方程返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录5. 如图，在长为如图，在长为100 m，宽为，宽为50 m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下部分全部种上花卉，且花圃的面积为余下部分全部种上花卉，且花圃的面积为3600 m2，求小路的宽．设小路的宽为，求小路的宽．设小路的宽为x m，根据题意可列方程为，根据题意可列方程为___________________________________________．．第5题图(100－－2x)(50－－2x)＝＝3600第三节　一元二次方程第三节　一元二次方程返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录6. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出10件，每件赢利件，每件赢利40元，为了扩大销元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出元，商场平均每天可多售出1件．若商场平均每天赢利件．若商场平均每天赢利600元，每元，每件衬衫应降价多少元？设每件衬衫降价件衬衫应降价多少元？设每件衬衫降价x元，根据题意可列方程为元，根据题意可列方程为_____________________________．．(10＋＋x)(40－－x)＝＝600第三节　一元二次方程第三节　一元二次方程返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录回回 归归 教教 材材用配方法推导一元二次方程的求根公式用配方法推导一元二次方程的求根公式利用配方法解一元二次方程利用配方法解一元二次方程ax2＋＋bx＋＋c＝＝0(a≠0)．．【自主解答】【自主解答】解：解：移项移项，，得得ax2＋＋bx＝－＝－c，，二次项系数化为二次项系数化为1，，得得x2＋＋ x＝－＝－ ，，配方配方，，得得x2＋＋ x＋＋( )2＝－＝－ ＋＋( )2，，即即(x＋＋ )2＝＝ ①①.∵∵a≠≠0，，∴∴4a2＞＞0，，式子式子b2－－4ac的值有以下三种情况：的值有以下三种情况：第三节　一元二次方程第三节　一元二次方程返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录(1)若若b2－－4ac＞＞0，这时，这时 ＞＞0，由，由①①得得x＋＋ ＝＝± ，，方程有两个不相等的实数根，方程有两个不相等的实数根，x1＝＝ ，，x2＝＝ ；；(2)若若b2－－4ac＝＝0，，这时这时 ＝＝0，由，由①①可知，方程有两个相等的实数根，可知，方程有两个相等的实数根，x1＝＝x2＝－＝－ ；；第三节　一元二次方程第三节　一元二次方程返回思返回思维导图维导图返回返回目录目录(3)若若b2－－4ac＜＜0，，这时这时 ＜＜0，由，由①①可知可知(x＋＋ )2＜＜0，而，而x取任何实数都不能使取任何实数都不能使(x＋＋ )2＜＜0，因此方程无实数根；，因此方程无实数根；∴∴当当b2－－4ac≥0时，方程时，方程ax2＋＋bx＋＋c＝＝0(a≠0)的实数根可写为的实数根可写为x＝＝第三节　一元二次方程第三节　一元二次方程返回目录返回目录命题点命题点1 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式(10年年6考，近考，近6年连续考查年连续考查)河南河南6年真题面对面年真题面对面1. (2019河南河南6题题3分分)一元二次方程一元二次方程(x＋＋1)(x－－1)＝＝2x＋＋3的根的情况是的根的情况是(　　　　)A. 有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根有两个相等的实数根C. 只有一个实数根只有一个实数根D. 没有实数根没有实数根A第三节　一元二次方程第三节　一元二次方程返回目录返回目录2. (2018河南河南7题题3分分)下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是(　　　　)A. x2＋＋6x＋＋9＝＝0　　　　　　　　B. x2＝＝xC. x2＋＋3＝＝2x D. (x－－1)2＋＋1＝＝03. (2020河南河南7题题3分分)定义运算：定义运算：m☆☆n＝＝mn2－－mn－－1.例如：例如：4☆☆2＝＝4×22－－4×2－－1＝＝7.则方程则方程1☆☆x＝＝0的根的情况为的根的情况为(　　　　)A. 有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根有两个相等的实数根C. 无实数根无实数根D. 只有一个实数根只有一个实数根BA第三节　一元二次方程第三节　一元二次方程返回目录返回目录4. (2016河南河南11题题3分分)若关于若关于x的一元二次方程的一元二次方程x2＋＋3x－－k＝＝0有两个不相等的实数根，有两个不相等的实数根，则则k的取值范围是的取值范围是________．．5. (2015河南河南19题题9分分)已知关于已知关于x的一元二次方程的一元二次方程(x－－3)(x－－2)＝＝|m|.(1)求证：对于任意实数求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；，方程总有两个不相等的实数根；k＞－　＞－　证明：证明：原方程可化为原方程可化为x2－－5x＋＋6－－|m|＝＝0，，∴∴由根的判别式可得：由根的判别式可得：b2－－4ac＝＝(－－5)2－－4×1×(6－－|m|)＝＝25－－24＋＋4|m|＝＝1＋＋4|m|.∵∵|m|≥0，，∴∴1＋＋4|m|≥1＞＞0，，∴∴对于任意实数对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；，方程总有两个不相等的实数根；(4分分)第三节　一元二次方程第三节　一元二次方程返回目录返回目录(2)若方程的一个根是若方程的一个根是1，求，求m的值及方程的另一个根．的值及方程的另一个根．解：解：把把x＝＝1代入原方程代入原方程，，得得(1－－3)××(1－－2)＝＝|m|，，即即|m|＝＝2，，∴∴m＝＝±2，，把把|m|＝＝2代入原方程代入原方程，，得得x2－－5x＋＋4＝＝0，，∴∴x1＝＝1，，x2＝＝4，，∴∴m的值为的值为±2，，方程的另一个根是方程的另一个根是4.第三节　一元二次方程第三节　一元二次方程返回目录返回目录命题点命题点2 一元二次方程的实际应用一元二次方程的实际应用(2020年新考查年新考查)6. (2020河南河南8题题3分分)国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加.2017年年至至2019年我国快递业务收入由年我国快递业务收入由5000亿元增加到亿元增加到7500亿元．设我国亿元．设我国2017年至年至2019年快年快递业务收入的年平均增长率为递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为，则可列方程为(　　　　)A. 5000(1＋＋2x)＝＝7500B. 5000×2(1＋＋x)＝＝7500C. 5000(1＋＋x)2＝＝7500D. 5000＋＋5000(1＋＋x)＋＋5000(1＋＋x)2＝＝7500C第三节　一元二次方程第三节　一元二次方程返回目录返回目录重难点精讲优练重难点精讲优练一、根据一元二次方程判断根的情况一、根据一元二次方程判断根的情况练习练习1　判断下列方程根的情况；　判断下列方程根的情况；(1)x2＋＋2x＋＋1＝＝0的根的情况是的根的情况是_____________________；；(2)－－x2－－3x－－4＝＝0的根的情况是的根的情况是___________；；(3)－－(x＋＋2)x＝＝x＋＋1的根的情况是的根的情况是_____________________．． 有两个相等的实数根有两个相等的实数根 没有实数根没有实数根 有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根第三节　一元二次方程第三节　一元二次方程返回目录返回目录提提 分分 要要 点点根据一元二次方程判断根的情况时，使用根的判别式根据一元二次方程判断根的情况时，使用根的判别式“b2－－4ac”判断，若方程判断，若方程形式为形式为(mx＋＋n)2＝＝p，则可利用以下方法判断：，则可利用以下方法判断：当当p>0时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个不相等的实数根；当当p＝＝0时，方程有两个相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；当当p<0时，方程无实数根．时，方程无实数根．第三节　一元二次方程第三节　一元二次方程返回目录返回目录二、根据根的情况判断字母的取值或范围二、根据根的情况判断字母的取值或范围练习练习2　已知：关于　已知：关于x的一元二次方程的一元二次方程(k＋＋1)x2－－2x＋＋1＝＝0.(1)若该方程有两个不相等的实数根，则若该方程有两个不相等的实数根，则k________；；(2)若该方程有两个相等的实数根，则若该方程有两个相等的实数根，则k________；；(3)若该方程有实数根，则若该方程有实数根，则k__________；；(4)若该方程无实数根，则若该方程无实数根，则k__________．．<0＝＝0≤0>0第三节　一元二次方程第三节　一元二次方程返回目录返回目录大模考数据诊断大模考数据诊断典例典例2　　(2020河南大模考河南大模考8题题)关于关于x的方程的方程x2－－2mx＋＋4＝＝0有两个相等的实数根，有两个相等的实数根，则则m的值为的值为(　　　　)A. 2B. －－2C. 0D. ±2D第三节　一元二次方程第三节　一元二次方程返回目录返回目录数数 据据 再再 现现满分分平均分平均分得分率得分率各各选项选答比例答比例 ABCD未未选32.57 85.67% 5.41% 3.73%2.38% 85.67%2.82% 数据解读：数据解读：从数据中可以看出大部分学生能做出正确答案从数据中可以看出大部分学生能做出正确答案D，从学生错误答案来看，，从学生错误答案来看，A，，B两项是干扰项，错选两项是干扰项，错选A，，B的学生是在解一元二次方程时出现漏解．对于此类的学生是在解一元二次方程时出现漏解．对于此类学生，应该加强已知一元二次方程根的情况，确定字母的值学生，应该加强已知一元二次方程根的情况，确定字母的值(或范围或范围)的习题及一元的习题及一元二次方程解法的训练．二次方程解法的训练．第三节　一元二次方程第三节　一元二次方程返回目录返回目录跟跟 踪踪 训训 练练(2020抚顺抚顺)若关于若关于x的一元二次方程的一元二次方程x2＋＋2x－－k＝＝0无实数根，则无实数根，则k的取值范的取值范围是围是________．．k<－－1第三节　一元二次方程第三节　一元二次方程返回目录返回目录中考试题中的数学文化中考试题中的数学文化一、一元二次方程的图解法一、一元二次方程的图解法古希腊数学家丢番图在公元古希腊数学家丢番图在公元250年前在《算术》中就提出一元二次方程的问题，年前在《算术》中就提出一元二次方程的问题，不过当时人们还没有找到一元二次方程的求根公式，只能用图解法求解，在欧几不过当时人们还没有找到一元二次方程的求根公式，只能用图解法求解，在欧几里得的《几何原本》中，就给出了形如里得的《几何原本》中，就给出了形如x2＋＋ax＝＝b2的方程的图解法．的方程的图解法．第三节　一元二次方程第三节　一元二次方程返回目录返回目录1. (2018舟山舟山)欧几里得的《原本》记载，形如欧几里得的《原本》记载，形如x2＋＋ax＝＝b2的方程的图解法是：画的方程的图解法是：画Rt△△ABC，使，使∠∠ACB＝＝90°，，BC＝＝ ，，AC＝＝b，再在斜边，再在斜边AB上截取上截取BD＝＝ ，，则该方程的一个正根是则该方程的一个正根是(　　　　)A. AC的长的长 B. AD的长的长 C. BC的长的长 D. CD的长的长【拓展设问】【拓展设问】上述求解方法运用的数学思想是上述求解方法运用的数学思想是(　　　　)A. 整体思想整体思想B. 类比思想类比思想C. 方程思想方程思想 D. 数形结合思想数形结合思想第1题图BD第三节　一元二次方程第三节　一元二次方程返回目录返回目录二、《九章算术》二、《九章算术》——水深几何水深几何2. (2020盘锦盘锦)我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，边的中点， 它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是少？设芦苇的长度是x尺，根据题意，可列方程为尺，根据题意，可列方程为( )A. x2 ＋＋102 ＝＝(x＋＋1)2B. (x－－1)2＋＋52 ＝＝x2C. x2＋＋52＝＝(x＋＋1)2D. (x－－1)2＋＋102＝＝x2第2题图B第三节　一元二次方程第三节　一元二次方程返回目录返回目录三、《杨辉算法》三、《杨辉算法》——田亩比类乘除捷法田亩比类乘除捷法《杨辉算法》包括《乘除通变算宝》、《田亩比类乘除捷法》和《续古摘奇算法《杨辉算法》包括《乘除通变算宝》、《田亩比类乘除捷法》和《续古摘奇算法》三部书，此外还有《日用算法》残卷，它们是南宋实用算书的代表作．其中》三部书，此外还有《日用算法》残卷，它们是南宋实用算书的代表作．其中《田亩比类乘除捷法》中列出了各种形状的田地求积公式及例题，并结合当时实《田亩比类乘除捷法》中列出了各种形状的田地求积公式及例题，并结合当时实际需要的问题进行归类，关乎国计民生，意义非同寻常．际需要的问题进行归类，关乎国计民生，意义非同寻常．3. (2020南通南通)1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积思是：矩形面积864平方步，宽比长少平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为步，问宽和长各几步．若设长为x步，则步，则可列方程为可列方程为________________________．．x·(x－－12)＝＝864。