[研究生入学考试题库]考研数学三分类模拟174.docx

[研究生入学考试题库]考研数学三分类模拟174一、选择题问题:1. 下列反常积分发散的是______ A． B． C． D． 答案:A[解析] x=0是A的瑕点． 以为例， 而 所以发散，从而知发散．选A． [评注] 通过具体积分可知B与D均收敛．而收敛．问题:2. 设A，B，A+B，A-1+B-1均为n阶可逆方阵，则(A-1+B-1)-1等于______A.A-1+B-1B.A+BC.A(A+B)-1BD.(A+B)-1答案:C[考点] 矩阵的性质，逆矩阵 [解析] 因为A(A+B)-1B=(A-1)-1(A+B)-1(B-1)-1=[B-1(A+B)A-1]-1=(B-1AA-1+B-1BA-1)-1=(B-1+A-1)-1=(A-1+B-1)-1 故C正确 问题:3. 若函数f(x)的一个原函数为arctanx，则等于______ A．arctan(1-x2)+C B． C．xarctan(1-x2)+C D． 答案:B[解析] . 故选B．问题:4. 设k＞0，则函数的零点个数为______．A.0个B.1个C.2个D.3个答案:C[解析] 函数f(x)的定义域为(0，+∞)，由得x=e，当0＜x＜e时，f'(x)＞0；当x＞e时，f'(x)＜0，由驻点的唯一性知x=e为函数f(x)的最大值点，最大值为f(e)=k＞0，又于是f(x)在(0，+∞)内有且仅有两个零点，选C．问题:5. 设f(x，y)连续，且，其中D是由y=0，y=x2，x=1所围区域，则f(x，y)等于______ A．xy B．2xy C． D．xy+1 答案:C[解析] 等式两端积分得 则 故选C． 问题:6. 设n维向量矩阵A=E-αTα，B=E+2αTα，其中E为n阶单位矩阵，则AB=______A.O．B.-E．C.E．D.E+αTα．答案:C问题:7. 设分块矩阵可逆，且，其中Ai(i=1,2)为n×n矩阵，αi(i=1，2)为n×1矩阵，βi(i=1，2)为1×n矩阵，λ为实数，则λ=______ A．1 B．β1A-1α1 C． D． 答案:C[考点] 分块矩阵的运算．[解析] 由可逆矩阵定义及分块矩阵乘法运算法则有 ，即有 由式(4)得 由式(2)得A1α2=-α1λ，代入式(5)，有 ， 即，应选C. 问题:8. 已知边际收益函数，其中常数a＞0，b＞0，k＞0，则需求函数Q=Q(p)的表达式为______ A． B． C． D． 答案:A[解析] 设总收益函数为R=R(Q)，则R(0)=0，且边际收益函数MR==-k，于是 又因R(Q)=pQ，从而故应选A．二、填空题问题:1. 设y=y(x)是二阶常系数微分方程y"+py'+qy=e2x满足初始条件y(0)=y'(0)=0的特解，则当x→0时，函数的极限为______．答案:1[解析] 思路一：题设方程的特解形式有三种可能：y=ae2x，y=axe2x和y=ax2e2x． 前两种都不满足初始条件，因此特解形式为y=ax2e2x，这说明λ=2是特征方程λ2+pλ+q=0的二重根，即p=-4，q=4，将y=ax2e2x代入方程得 故 思路二： 又 y"(0)=[e2x-py'(x)-qy(x)]|x=0=1． 所以原极限为1． 问题:2. 微分方程(6x+y)dx+xdy=0的通解是______．答案:3x2+xy=C，其中C为任意常数[解析] 原方程兼属一阶线性方程、齐次方程、全微分方程． 方法一 原方程化为 ① 由一阶线性方程的通解公式得 即 3x2+xy=C，其中C为任意常数． 方法二 原方程可写为6xdx+ydx+xdy=0，有d(3x2+xy)=0，积分得通解 3x2+xy=C，其中C为任意常数． 问题:3. 若，则f'(t)=______。

答案:2tet2(t2+1)[考点] 函数的极限 [解析] 由于f(t)=t2et2，所以f'(t)=et2(t22t+2t)=2tet2(t2+1) 问题:4. 由曲线y=x3，y=0及x=1所围图形绕x轴旋转一周得到的旋转体的体积为______．答案:[解析] 该旋转体体积问题:5.答案:[解析] 问题:6. 曲线在点处的切线方程为______．答案:[解析] 在点处的切线的斜率为：，在曲线方程两端分别对x求导，得 因此所求的切线方程为 ，即 三、解答题问题:1. 二次型F(x1，x2，x3)=，它的秩为2． (Ⅰ)求常数t，以及将此二次型通过可逆线性变换X=CY化为标准形的矩阵C； (Ⅱ)求此二次型的标准形及正、负惯性指数． 答案:解：(Ⅰ)设二次型矩阵为A，则 ，由r(A)=2得t-5=0，即t=5． 为了求将二次型化为标准形的可逆变换的矩阵C，用以下方法 即 (Ⅱ)令X=CY，则 ． 二次型的正惯性指数p=2，负惯性指数q=0．[考点] 求将二次型化为标准形的可逆变换X=CY中的矩阵C，标准形及正、负惯性指数． 设f'(x0)存在，求下列各极限：2.答案:解：3.答案:解：4.答案:解：5.答案:解：问题:6. 求微分方程y″-3y′+2y=2xex的通解．答案:解：齐次方程y″-3y’+2y=0的特征方程为r2-3r+2=0，由此得r1=2，r2=1． 对应齐次方程的通解为 Y=C1e2x+C2ex． 设非齐次方程的特解为 y*=(ax+b)xex． 则y*′=(ax2+(2a+b)x+b)ex，(y*)″=(ax2+(4a+b)x+2a+2b)ex． 代入原方程得a=-1，b=-2因此所求解为 y=C1e2x+C2ex-x(x+2)ex．(C1，C2为任意常数)． 问题:7. 设函数f(x)可导，且f(0)=0，证明： 答案:证明： 设直线y=kx与曲线所围平面图形为D1，它们与直线x=1围成平面图形为D2．8. 求k，使得D1与D2分别绕x轴旋转一周成旋转体体积V1与V2之和最小，并求最小值；答案:解：由方程组得直线与曲线交点为 因为V"(k)＞0，所以函数V(k)当时取最小值，且最小值为 9. 求此时的D1+D2．答案:解：。