利用向量法求点到平面的距离.doc

利用平面的法向量求点到平面的距离彭长军甘肃省如图1设n是平面〉的一个法向量，P是〉外一点，Q是:•内任意一点，则向量PQ在法向量- , | 一'I | uuu u PQ^nn方向上的射影长d= PQ cos < PQ,n > =—— n就是点P到平面〉的距离.下面举几例予以说明.例 1.已知 A(2,3,1)、B(4,1,2)、C(6,3,7)、D(-5,-4,8)是空间不共面的四点，求点D到平面ABC的距离.n _AB 二 0 及 n _BG 二 0,得解：设n =(x,y,z)是平面ABC的一个法向量，则由- DA如，取x=3,得n= (3,2,—2)，于是点D到平面ABC的距离为d= nf 2■2x-2y+z=0 iy_3X彳 》 32x+2y+5z=0 | _ 2Z 二 _ _ XI 349 49.17.17 17例2.已知四边形 ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB和AD的中点，GC丄平面ABCD，且GC=2 ,求点B到平面EFG的距离.41解：建立如图2所示的空间直角坐标系 C-xyz，则G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0), F(4, 2,0) , a GE =(2,4,-2),GF =(4,2,-2), BE=(2,0,0).设平面EFG的一个法向量为n =(x,y,z)，则由2x+4y - 2z = 0 — nGE =0 及 nGF =0,得[4x + 2y - 2z = 0d=2 1111x=y，取y=1,得n =(1,1,3)，于是点B到平面EFG的距离为z =3y例3.在棱长为1的正方体ABCD-A 1B1 C1D1中，求点C1到平面A 1BD的距离。

第#页(共2页)y團4第#页(共2页)第#页(共2页)解：建立如图3所示的空间直角坐标系 D-xyz，则A1(1,0,1),B(1,1,0),C 1 (0, 1,1).x z = 0 —设平面A1 bd的一个法向量为n = (x, y,z)，则由n QA1 = 0及n QB = 0 ,得 =x + y = 0「z=-x - 一GD型22庚s 取 x--1,得 n-(-1,1, 1),F是点C1到平面A1BD的距离为d-=< [y=-x3例4. (06年福建高考题)如图4，四面体 ABCD中，0、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2 ,AB=AD= \ 2，求点E到平面ACD的距离.解：由题设易知 AO 丄 BD , OC 丄 BD ,••• OA=1 , OC= ..3，二 OA 2 +OC 2 =AC 2 AOC=90 ，即OA 丄 OC.以O为原点，OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系 O-xyz ,则A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,3,0),D(-1,0,0) , •纭訂,AD =(-1,0,-1),AC =(0, . 3 ,-1),,0).第#页(共2页)第#页(共2页)x z = 0设平面ACD的一个法向量为n 二(x, y,z)，则由 n 4D = 0及 n AC = 0 ,得 - 二[J3y _z = 0第#页(共2页)第#页(共2页)x=-zz八 3，得 n =(- 13,1,■■■ 3),于是点y=亍E到平面ACD的距离为d=第#页(共2页)。