数学苏教版选修1-1导数基本概念与公式.docx

导数基本概念与公式i .导数的定义：设函数 y f(x)在x刈处附近有定义，如果 yx 0时，y与x的比x (也叫函数的平均变化率)有极限即yX无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数y f(x)在/// \ ..f(x°x) f(x0)y yvf (xo) limnx xo处的导数，记作y xxo ,即x 0x.2 .导数的几何意义：是曲线y f(x)上点(x0，f(x0))处的切线 的斜率.因此，如果 y f(x)在点x0可导，则曲线y f(x)在点(x0, f(X0))处的切线方程为 y f(x0) f (x0)(x x0)3 .导函数(导数)：如果函数y f(x)在开区间(a,b)内的每点处 都有导数，此时对于每一个 x (a,b)，都对应着一个确定的导数 f/(x),从而构成了一个新的函数f/(x),称这个函数f/(x)为函数 y f(x)在开区间内的导函数，简称导数.4 .可导：如果函数y f(x)在开区间(a,b)内每一点都有导数， 则称函数y f(x)在开区间9,功内可导.5 .可导与连续的关系：如果函数 y=f(x)在点x0处可导，那么函 数y=f(x)在点x0处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数 具有可导性的必要条件，而不是充分条件.6 .求函数y f(x)的导数的一般方法：①求函数的改变量y f(x x) f(x).y f(x x) f(x) /②求平均变化率xx ；③取极限，得导数 y =f (x)7 .常见函数的导数公式：C' 0 . (xn)' nxn 1 . (sin x)' cosx. (cosx)' sin x ? ? ?8 .法则 1[u(x) v(x)] u (x) v (x)法则2u'v uv法则3(v 0)[u(x)v(x)]u'(x)v(x) u(x)v'(x)[Cu(x)] Cu'(x)9 .复合函数的导数：设函数 u= (x)在点x处有导数u' x='(x),函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数v u=f' (u),则复合函数y=f( (x))在点x处也有导数，且y x y u u x.1(lOga x)' -lOga ex10 .复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回 代.1(In x)'11 .对数函数的导数：x；X\I 一Xx X ,12 .指数函数的导数：(e) e ； (a ) a Ina .13 .函数的导数与函数的单调性的关系：设函数y=f(x)在某个区/间内有导数，如果在这个区间内y >0,那么函数y=f(x)在为这个/区间内的增函数；如果在这个区间内y V0,那么函数y=f(x)在为 这个区间内的减函数.14 .用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的导数f'(x).②令f ' (x) >0解不等式，得x的范围就是递增区间.③ 令f' (x) <0解不等式，得x的范围，就是递减区间.15．极大值： 一般地，设函数f(x) 在点 x0 附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x) f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值 =f(x0) ， x0 是极小值点．17 .极大值与极小值统称为极值.(i)极值是一个局部概念.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.(ii) 函数的极值不是唯一的．即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.(iii)极大值与极小值之间无确定的大 小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，“是 极大值点，x4是极小值点，而f(x4)>f(x1) .(W)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端 点 ．18 .判别f(x0)是极大、极小值的方法：若xo满足f (x0)0 ,且在 x0的两侧f(x)的导数异号，则%是£他)的极值点，f(x。

)是极值， 并且如果f (x)在xo两侧满足“左正右负”，则xo是f(x)的极大值 点，f(xo)是极大值；如果f (x)在xo两侧满足“左负右正”，则xo 是 f (x) 的极小值点， f (x0) 是极小值．19．求函数f(x) 的极值的步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f ' (x) ; (2)求方程f ' (x)=O的根； (3) 用函数的导数为 o 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查 f' (x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f(x) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x) 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则 f(x) 在这个根处无极值．20 .函数的最大值和最小值：在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a,b 上必有最大值与最小值． ⑴在开区间 (a, b) 内连续的函数f (x)不一定有最大值与最小值． ⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的.⑶ 函数f(x)在闭区间a，b上连续，是f(x)在闭区间a，b上有最大值 与最小值的充分条件而非必要条件． (4) 函数在其定义区间上的最 大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可 能没有一个．21 .利用导数求函数的最值步骤：⑴求f(x)在(a，b)内的极值；⑵将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在a，b上的最 值．。