高考数学 重难点题型归纳-第19讲 基本不等式归类（解析版）.docx

第19讲 基本不等式16类 【题型一】基础型【典例分析】在下列函数中,最小值是2的是A. B. C. D.【答案】D【解析】A.,当时,不符合题意;B.===,当时取等号,不符合题意;C.==,∵,∴,∴,∴不符合题意;D.,当且仅当时取等号,符合题意.故选D．【变式演练】1.已知关于x的不等式的解集为，则的最小值是______．【答案】【详解】由于，故一元二次方程的判别式：，由韦达定理有：，则：，当且仅当时等号成立.综上可得：的最小值是.2.若都是正数，则的最小值为( ).A.5 B.7 C.9 D.13【答案】C【详解】因为都是正数，所以，（当且仅当时取等号），故本题选C.3.在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x，使 恒成立的概率是（     ）A． B． C． D．【答案】A【详解】恒成立，即，设，则，当且仅当，即时，等号成立，所以问题转化为，即，所以在区间上随机地取一个数时，使恒成立的概率是，故选择A.【题型二】 “1”的代换型【典例分析】已知x，y均为正实数，且，则x+3y的最小值为__________【详解】x，y均为正实数,, 当时等号成立.故答案为：2.【变式演练】1.已知，，，则的最小值为（　　）A．20 B．24 C．25 D．28【答案】C【分析】凑配出积为定值后用基本不等式求最小值．【详解】由题意，当且仅当，即时等号成立．故选：C．2.已知，，，则的最小值为（       ）A．13 B．19 C．21 D．27【答案】D【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值.【详解】，当且仅当，即，b＝6时，等号成立，故的最小值为27。

故选：D3.已知正实数，b满足＋b＝1，则的最小值为_____【详解】因为，且都是正实数.所以当且仅当时，等号成立.所以的最小值为【题型三】 “和”与“积”互消型【典例分析】已知x、y都是正数，且满足，则的最大值为_________．【答案】18.【分析】根据基本不等式，得到关于的不等式，解得的范围，从而得到的范围，求出答案.【详解】因为，且，所以，（当且仅当时，取等号）即，解得，所以得，所以的最大值是.此时，.故答案为：18.【变式演练】1.已知，，且，则的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意得，，再根据基本不等式乘“”法即可得最小值.【详解】由题可知，乘“”得，当且仅当时，取等号，则的最小值为.故选：A2.已知，且，则的最小值为___________．【答案】6【分析】利用基本不等式有，再利用一元二次不等式的解法，由求解.【详解】由，得，又，，，即，解得：或，又，，当且仅当，即时取等号．故答案为：6．3.已知，，，则（ 多选题 ）A．的最大值为2 B．的最小值为4C．的最小值为3 D．的最小值为【答案】ABD【详解】对于A选项：由均值不等式得，则，令，，解得，即，，当且仅当，时，等号成立，故A正确；对于B选项：由均值不等式得，又，∴，解得，（舍），当且仅当，时，等号成立，故B正确；对于C，D选项：令，，则，则可化为，整理，∵此方程一定有解，∴，即，解得，（舍），故C错误，D正确.故选：ABD.【题型四】 以分母为主元构造型【典例分析】已知非负数满足，则的最小值是（ ）A．3 B．4 C．10 D．16【答案】B【分析】根据基本不等式，结合“1”的妙用即可得解.【详解】由，可得，当且仅当取等号，故选：B【变式演练】1.已知，且，则的最小值为（ ）A．9 B．10 C．11 D．【答案】A【详解】，，又，且，，当且仅当，解得，时等号成立，故的最小值为9．故选：A．2.已知正数、满足，则的最小值是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】已知正数、满足，则，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是.故选：C.3.设，则的最小值为（ ）A． B． C．4 D．【答案】A【分析】原式可变形为，然后根据基本不等式即可求解【详解】，，，当且仅当，即时取等号故选：A【题型五】 构造分母：待定系数【典例分析】已知正实数，满足，则的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】将4x+3y=4变形为含2x+1和3y+2的等式,即2(2x+1)+(3y+2)=8,再将式子换元,由基本不等式换“1”法求解即可【详解】由正实数x,y满足4x+3y=4,可得2(2x+1)+(3y+2)=8.令a=2x+1,b=3y+2,可得2a+b=8.所求当且仅当时取等号，所以答案为.故选:A.【变式演练】1.知正实数、满足，则的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用待定系数法可得出，与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】设，可得，解得，所以，.当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.故选：A.2.已知，，，则取到最小值为 ． 【答案】．【解析】试题分析：令，∴，∴，当且仅当时，等号成立，即的最小值是．【题型六】 分子含参型：分离分子型【典例分析】若，则的最小值为___________.【答案】【详解】因为，则，，当且仅当，即当时，等号成立，因此，的最小值为.故答案为：.【变式演练】1.已知正实数满足，则的最小值是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据已知等式把代数式进行变形为，再结合已知等式，利用基本不等式进行求解即可.【详解】，因为，所以，因为，所以，因此，因为是正实数，所以，（当且仅当时取等号，即时取等号，即时取等号），故选：A2.若，且，则的最小值为_________【答案】【分析】令，可得，化简可得，再结合基本不等式可求解.【详解】令，则，则，即，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故答案为：.3.若正实数x，y满足2x+y=2，则的最小值是_____．【答案】【题型七】 反解代入型:消元法【典例分析】已知正数，满足，则的最大值为______．【答案】【详解】由，得，由，得，所以，当且仅当，即时等号成立，、所以的最大值为.故答案为：.【变式演练】1.已知，，且，则的最小值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知得，所以，记，可得，然后利用基本不等式可得答案.【详解】因为，所以，因为，，所以，得，所以，记，所以，所以，且，所以，当且仅当即等号成立，此时 ， .2.若正数，满足，则的最小值是______，此时______.【答案】2 2 【分析】先由求出，再根据基本不等式求解即可．解：，，，因为、，所以，即，即，当且仅当，即时取等号，故答案为：2；2．3.若正实数满足，则的最小值为___________.【答案】【详解】由且知：，∴当且仅当时等号成立，即时等号成立.故答案为：【题型八】 因式分解型【典例分析】非负实数满足，则的最小值为___________.【答案】【分析】根据题意化简得,结合基本不等式求得，即可求得的最小值.【详解】由题意，非负实数满足，可得,又由，当且仅当，即时等号成立，所以，即，所以或，所以，即时，的最小值为.故答案为：.【变式演练】1.已知，且，则的最小值等于_______．【答案】【详解】，且，即有 ，即 ，可得 ，当且仅当 时，上式取得等号，即有的最小值为.故答案为：2.已知，且，则的最小值是___．【答案】【解析】原式可变形为，两边同时乘以2，得，所以，即x+2y，当且仅当时等号成立。

填3.已知a,b∈R+，且(a+b)(a+2b)+a+b=9，则3a+4b的最小值等于_______．【答案】62-1【详解】a,b∈R+，且(a+b)(a+2b)+a+b=9，即有（a+b）（a+2b+1）=9 ，即（2a+2b）（a+2b+1）=18 ，可得3a+4b+1=（2a+2b）+（a+2b+1）≥22a+2ba+2b+1=62 ，当且仅当2a+2b=a+2b+1 时，上式取得等号，即有3a+4b的最小值为62-1.故答案为：62-1【题型九】 均值用两次【典例分析】是不同时为0的实数，则的最大值为（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.【详解】因为a，b均为正实数，则，当且仅当，且取等，即取等号，即则的最大值为，故选：A．【变式演练】1.设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为 （ ）A． B． C． D．【详解】．A设，则 所以 当且仅当即时取等号所以的最小值是，则的最大值为.故选A2.已知，，则的最小值为___________.【答案】2【分析】由可得答案.【详解】因为，，所以，，当且仅当时等号成立，所以最小值为2.故答案为：2.3.已知正实数，，满足，则的最小值为______.【答案】【详解】因为，即，所以，上述两个不等式均是当且仅当时取等号，所以的最小值为.故答案为：．【题型十】 换元型【典例分析】已知实数x,y满足方程x2+y2+2x-2y=0，则|x|+|y|的最大值为A.2 B.4 C. D.【答案】B详解：将化为，令，则，又，所以，即．【变式演练】1.若a,b∈R，且a2+2ab-3b2=1，则a2+b2的最小值为_____【详解】5+14由a2+2ab﹣3b2＝1得（a+3b）（a﹣b）＝1，令x＝a+3b，y＝a﹣b，则xy＝1且a=x+3y4，b=x-y4，所以a2+b2＝（x+3y4）2+（x-y4）2=x2+5y2+28≥25x2y2+28=5+14，当且仅当x2=5，y2=55时取等．故答案为5+14．2.已知x2-23xy+5y2=1，x,y∈R，则x2+y2的最小值为____.【答案】3-72【详解】因为x2-23xy+5y2=(x-3y)2+(2y)2=1，所以令x-3y=cosθ,2y=sinθ，解得x=62sinθ+cosθ,y=22sinθ，所以x2+y2=(62sinθ+cosθ)2+(22sinθ)2=1+sin2θ+6sinθcosθ=32+62sin2θ-12cos2θ=32+72sin(2θ-φ).因为-1≤sin(2θ-φ)≤1，所以x2+y2的最小值为3-72.3.已知为正实数，则的最小值为_________.【答案】【详解】原式，令，则上式变为，当且仅当时等号成立，故最小值为.【题型十一】 “和”与所求和系数不一致型【典例分析】1、已知，，且，则的最小值为A． B． C．5 D．9【详解】由得，解得.所以，当且仅当，即时等号成立.故本小题选A.【变式演练】1.若正实数，满足，则的最小值是__________．【答案】【解析】根据题意，若，则；又由，则有，则；当且仅当。