无限脉冲响应数字滤波器设计.ppt

第第5章章 IIR数字滤波器的理论数字滤波器的理论与设计与设计 5.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 5.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 5.3 IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 5.1 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念 5.1.1 数字滤波器的分类数字滤波器的分类 1、按处理方式分、按处理方式分 经典数字滤波器经典数字滤波器现代滤波器现代滤波器8/30/202422、按滤波频率分、按滤波频率分 按照频率的选择不同可以分为低通、高通、带通按照频率的选择不同可以分为低通、高通、带通和带阻等滤波器和带阻等滤波器 8/30/202433、按网络结构分、按网络结构分 无限脉冲响应基本网络结构的滤波器，简称无限脉冲响应基本网络结构的滤波器，简称IIR滤波器；滤波器；有限脉冲响应基本网络结构的滤波器，简称有限脉冲响应基本网络结构的滤波器，简称FIR滤波器 IIR滤波器：滤波器：FIR滤波器滤波器 ：：8/30/202445.1.2 数字滤波器的技术要求和设计步骤数字滤波器的技术要求和设计步骤 1、数字滤波器的技术要求、数字滤波器的技术要求 假设数字滤波器的频谱函数假设数字滤波器的频谱函数H(ejω)用下式表示用下式表示 对于选频滤波器，技术要求由幅度频谱给出，对于选频滤波器，技术要求由幅度频谱给出，相位频谱一般不做要求。

相位频谱一般不做要求 8/30/20245考虑到复杂性和成本，为了满足合理的滤波器指考虑到复杂性和成本，为了满足合理的滤波器指标，只可能在一定的误差容限内去逼近理想情况这标，只可能在一定的误差容限内去逼近理想情况这里所讲的里所讲的误差容限误差容限主要包含以下几方面的内容：主要包含以下几方面的内容：(1)通带内不一定完全水平；通带内不一定完全水平； (2)阻带内不一定绝对衰减到零；阻带内不一定绝对衰减到零；(3)通带与阻带之间存在一定宽度的过渡带通带与阻带之间存在一定宽度的过渡带 8/30/20246通带截止频率通带截止频率阻带截止频率阻带截止频率8/30/20247滤波器设计时滤波器设计时，用，用dB数来表示通带内和阻带内数来表示通带内和阻带内允许的衰减，通带内允许的最大衰减用符号允许的衰减，通带内允许的最大衰减用符号αp表示，表示，阻带内允许的最小衰减用符号阻带内允许的最小衰减用符号αs表示表示当幅度下降到当幅度下降到 时，时，ω=ωc，，计算此时计算此时的衰减数为的衰减数为称称ωc为为3dB通带截止频率，通带截止频率，ωp、、ωc和和ωs统称为统称为边界频率，它们是滤波器设计的重要技术指标。

边界频率，它们是滤波器设计的重要技术指标 8/30/202485.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 模模拟拟滤滤波波器器模模型型包包括括巴巴特特沃沃斯斯(Butterworth)滤滤波波 器器 、、 切切 比比 雪雪 夫夫 (Chebyshev)滤滤 波波 器器 、、 贝贝 塞塞 尔尔(Bessel)滤波器、椭圆滤波器、椭圆(Ellipse)滤波器等等滤波器等等在在设设计计模模拟拟滤滤波波器器时时，，总总是是首首先先设设计计低低通通滤滤波波器器，，再再通通过过频频率率变变换换将将低低通通转转换换成成所所希希望望类类型型的的滤滤波器 8/30/202495.2.1 模拟低通滤波器的设计指标模拟低通滤波器的设计指标 模拟低通滤波器的设计指标有模拟低通滤波器的设计指标有αp、、Ωp、、αs和和Ωs αp和和αs可表示为可表示为 以上技术指标可以用图表示在图中以上技术指标可以用图表示在图中Ωc就表示就表示3dB截止频率截止频率 8/30/202410当已知模拟低通滤波器的设计指标后，就能够当已知模拟低通滤波器的设计指标后，就能够描绘出上面的波形图，进而得到描绘出上面的波形图，进而得到 和和Ha(s)，，这这样模拟低通滤波器的结构就能够确定了。

样模拟低通滤波器的结构就能够确定了5.2.2 巴特沃斯低通滤波器的设计巴特沃斯低通滤波器的设计 巴特沃斯滤波器是根据幅度频谱在通频带内具巴特沃斯滤波器是根据幅度频谱在通频带内具有最平坦特性而定义的滤波器，在通带和阻带内的有最平坦特性而定义的滤波器，在通带和阻带内的幅度频谱始终是频率的单调下降函数幅度频谱始终是频率的单调下降函数 8/30/202411巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数可以用下巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数可以用下式式 表示表示 式中，式中，N表示滤波器的阶数滤波器的幅度频谱随表示滤波器的阶数滤波器的幅度频谱随着滤波器阶次着滤波器阶次N的增加而变得越来越好的增加而变得越来越好巴特沃斯低通滤波器的主要特性巴特沃斯低通滤波器的主要特性(1)对于所有对于所有N，，|Ha(j0)|＝＝1；；(2)对于所有对于所有N，，(3) 是是Ω的单调下降函数；的单调下降函数；(4) 随着阶数随着阶数N的增大而更接近于理想低的增大而更接近于理想低通滤波器通滤波器 8/30/202412巴特沃斯低通滤波器的设计步骤：巴特沃斯低通滤波器的设计步骤：8/30/202413t设计思想：设计思想：用模拟滤波器设计数字滤波器用模拟滤波器设计数字滤波器 s 平面平面 z 平面平面模拟系统模拟系统 数字系统数字系统lH(z) 的频率响应要能模仿的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应，的频率响应，即即 s 平面的虚轴映射到平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆平面的单位圆l因果稳定的因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的映射到因果稳定的 H(z) ，，即即 s 平面的左半平面平面的左半平面 Re[s] < 0 映射到映射到 z 平面的单位圆内平面的单位圆内 |z| < 15.3 IIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 8/30/202414（（1）脉冲响应不变法；）脉冲响应不变法；（（2）双线性变换法。

双线性变换法¨设计方法：设计方法：8/30/202415数字滤波器的单位冲激响应数字滤波器的单位冲激响应模仿模拟滤波器的单位冲激响应模仿模拟滤波器的单位冲激响应变换原理变换原理T—抽抽样周期样周期5.3.1 利用脉冲响应不变法设计利用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器 8/30/202416设模拟滤波器设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分用部分分式表示式表示 将将Ha(s)进行逆拉普拉斯变换就得到模拟系统的进行逆拉普拉斯变换就得到模拟系统的单位冲激响应单位冲激响应 对对ha(t)进行等间隔采样，采样间隔为进行等间隔采样，采样间隔为T，得到，得到8/30/202417对对h(n)进行进行Z变换，就可以得到数字滤波器的系变换，就可以得到数字滤波器的系统函数，可表示为统函数，可表示为 Ha(s)的极点的极点si映射到映射到Z平面，其极点变为平面，其极点变为 ，系数，系数Ai不变8/30/202418以采样信号为桥梁，讨论以采样信号为桥梁，讨论S平面上任意点到平面上任意点到Z平平面上的映射关系。

面上的映射关系进行拉普拉斯变换，可得进行拉普拉斯变换，可得 进一步表示为进一步表示为 8/30/202419拉普拉斯变换与相应的序列拉普拉斯变换与相应的序列h(n)的的Z变换之间的变换之间的映射关系可用下式表示映射关系可用下式表示通常要求所设计的系统是因果稳定通常要求所设计的系统是因果稳定 上式给出确定上式给出确定H(z)的具体过程：首先确定模拟的具体过程：首先确定模拟滤波器系统函数滤波器系统函数Ha(s)，，然后在然后在S平面上沿虚轴平面上沿虚轴（（s=jΩ），），按照周期按照周期Ωs=2π/T对对Ha(s)进行延拓，将进行延拓，将S平面映射到平面映射到Z平面，就得到了平面，就得到了H(z) 8/30/202420根据根据S平面和平面和Z平面的定义，有平面的定义，有关系关系因此得到因此得到 需要注意需要注意 jΩ轴上轴上(-π/T，，π/T)映射到单位圆上，也就是说，映射到单位圆上，也就是说，当模拟频率当模拟频率Ω在在 (-π/T，，π/T)内变化时，对应于数字内变化时，对应于数字频率的变化范围是频率的变化范围是(-π，，π)，，ω＝＝ΩT，即，即ω和和Ω之间之间成线性关系成线性关系。

8/30/2024218/30/202422如果如果ha(t)的频带宽度比的频带宽度比π/T大，则会在大，则会在±π/T的的奇数倍附近产生频率混叠，映射到奇数倍附近产生频率混叠，映射到Z平面，表现为平面，表现为在在ω＝＝(2k+1) π的位置发生频率混叠这就是脉冲响的位置发生频率混叠这就是脉冲响应不变法存在的问题，即频率混叠现象，应不变法存在的问题，即频率混叠现象， 8/30/202423不发生频率混叠的情况时，需要满足条件不发生频率混叠的情况时，需要满足条件可以得到可以得到用脉冲响应不变法所设计的数字滤波器虽然会用脉冲响应不变法所设计的数字滤波器虽然会引起频率混叠现象，但它却能很好地引起频率混叠现象，但它却能很好地保持模拟和数保持模拟和数字滤波器之间的线性关系字滤波器之间的线性关系，，即即ω=ΩTω=ΩT，，因此，因此，在不在不考虑频率混叠现象的情况下，用这种设计数字滤波考虑频率混叠现象的情况下，用这种设计数字滤波器方法可以很好地重现原模拟滤波器的频率特性器方法可以很好地重现原模拟滤波器的频率特性8/30/202424一般方法一般方法: 先先 ，再对，再对 抽样，抽样，使使 ，最后，最后 H(Z)=Z[h(n)]，，一一般说来过程复杂。

般说来过程复杂8/30/202425方法的简化方法的简化 设设Ha(S)只有单阶极点，而且分母的阶次大于分只有单阶极点，而且分母的阶次大于分子的阶次，子的阶次，Ha(S)可展成如下的部分公式可展成如下的部分公式:因此，因此，8/30/2024265.3.2 利用双线性变换法设计利用双线性变换法设计IIR数字低通数字低通滤波器滤波器 为了克服频率混叠现象，提出了双线性变换法，为了克服频率混叠现象，提出了双线性变换法，其处理过程分为两步：其处理过程分为两步：第一步，将整个模拟频率范围从第一步，将整个模拟频率范围从(-∞，，∞)压缩到压缩到(-π/T，，π/T)之间，这一步也被称为非线性频率压缩；之间，这一步也被称为非线性频率压缩；第二步，利用实现从第二步，利用实现从S平面到平面到Z平面的映射平面的映射8/30/202427设模拟滤波器的系统函数为设模拟滤波器的系统函数为Ha(s)，，其中其中s=jΩ，，利用正切变换实现非线性频率压缩，得到利用正切变换实现非线性频率压缩，得到Ha(s1)，，其中其中s1=jΩ1，，Ω和和Ω1之间的关系可以表示为之间的关系可以表示为 当当Ω1从从-π/T经过经过0变化到变化到π/T时，时，Ω则由则由-∞经过经过0变化到变化到∞，实现了，实现了S平面上整个虚轴完全压缩到平面上整个虚轴完全压缩到S1平平面上虚轴的面上虚轴的(-π/T，，π/T)之间的转换。

之间的转换8/30/202428利用脉冲响应不变法进行第二次映射利用脉冲响应不变法进行第二次映射 ，将，将S1平面映射成平面映射成Z平面，则平面，则 8/30/202429采用这种变换方法不可能产生频率混叠现象，采用这种变换方法不可能产生频率混叠现象，如果如果Ha(s)因果稳定，转换成的因果稳定，转换成的H(z)也是因果稳定也是因果稳定当考虑模拟频率当考虑模拟频率ΩΩ和数字频率和数字频率ωω之间的关系，可以之间的关系，可以得到得到 8/30/2024308/30/202431双线性变换法克服了脉冲响应不变法的多值对双线性变换法克服了脉冲响应不变法的多值对应而产生的混叠现象然而为此付出的代价是频率应而产生的混叠现象然而为此付出的代价是频率映射发生了非线性畸变，这将直接影响数字滤波器映射发生了非线性畸变，这将直接影响数字滤波器的频率响应和模拟滤波器的频率响应的相似程度，的频率响应和模拟滤波器的频率响应的相似程度，造成数字滤波器设计的失真造成数字滤波器设计的失真8/30/202432基于上述分析，利用模拟滤波器设计基于上述分析，利用模拟滤波器设计IIR数字低数字低通滤波器的步骤可以总结如下。

通滤波器的步骤可以总结如下 (1)确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率频率ωp和衰减和衰减αp，，阻带截止频率阻带截止频率ωs和衰减和衰减αs2)将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的技术指标这里主要是对边界频率通滤波器的技术指标这里主要是对边界频率ωp和和ωs进行转换，对通带衰减进行转换，对通带衰减αp和阻带衰减和阻带衰减αs不转换采用脉冲响应不变法，边界频率的转换关系为：采用脉冲响应不变法，边界频率的转换关系为： ω=ΩT 采用双线性变换法，边界频率的转换关系为采用双线性变换法，边界频率的转换关系为 8/30/202433(3)按照模拟低通滤波器的技术指标通带截止频按照模拟低通滤波器的技术指标通带截止频率率Ωp、、通带衰减通带衰减αp、、阻带截止频率阻带截止频率Ωs、、阻带衰减阻带衰减αs设计模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器4)将模拟滤波器将模拟滤波器Ha(s)，从，从S平面采用适当的映平面采用适当的映射关系转换到射关系转换到Z平面，得到数字低通滤波器系统函平面，得到数字低通滤波器系统函数数H(z)。

如果采用脉冲响应不变法如果采用脉冲响应不变法如果采用双线性变换法如果采用双线性变换法8/30/2024345.3.3 利用模拟滤波器设计利用模拟滤波器设计IIR数字高通、数字高通、带通和带阻滤波器带通和带阻滤波器 对于数字高通、带通和带阻滤波器的设计，可以对于数字高通、带通和带阻滤波器的设计，可以借助于模拟低通滤波器设计方法，通过频率变换，设借助于模拟低通滤波器设计方法，通过频率变换，设计一个所需类型的模拟滤波器，最后再通过双线性变计一个所需类型的模拟滤波器，最后再通过双线性变换，将其转换成所需类型的数字滤波器，具体设计步换，将其转换成所需类型的数字滤波器，具体设计步骤如下：骤如下： (1)确定所需类型数字滤波器的技术指标确定所需类型数字滤波器的技术指标2)将所需类型数字滤波器技术指标转换成对应将所需类型数字滤波器技术指标转换成对应模拟滤波器的技术指标，转换公式为模拟滤波器的技术指标，转换公式为 8/30/202435(3)将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标低通滤波器技术指标 (4)设计模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器。

(5)将模拟低通通过频率变换，转换成所需类型将模拟低通通过频率变换，转换成所需类型的模拟滤波器的模拟滤波器 (6)采用双线性变换法，将模拟滤波器转换成所采用双线性变换法，将模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器需类型的数字滤波器8/30/202436。