线性变换的值域与核.docx

§6 线性变换的值域与核一、定义设A是线性空间V的一个线性变换，A的全体像组成的集合称为A的值域, 用 A V 表示 .所有被A变成零向量的向量组成的集合称为A的核，用A-i(0)表示.若用集合的记号则A V = {代I g eV }, A-i(0) = {g I代=0,g eV }这里用b表示A，公式里打不出来.1 •线性变换的值域与核都是V的子空间.2．AV 的维数称为 A 的秩， A-i(0) 的维数称为 A 的零度.二、如何求值域、核1．如何求线性变换的值域 ？定理10设A是n维线性空间V的线性变换，£ ,£ , ,8是V的一组基，i 2 n在这组基下A的矩阵是A，则1) A 的值域 AV 是由基像组生成的子空间，即AV = L(b£ ,b£ , ,b£ )i 2 n2) A的秩二A的秩. …定理 10 说明线性变换与矩阵之间的对应关系保持不变.AV = L(b£ ,b£ , ,b£ ) ，实质上是求它的一个线性极大无关组，i 2 n即求矩阵A的列向量组的一个极大线性无关组例 1 性空间 P[x] 中，令nD (f (x))=广(x)则 D 的值域就是 P[x]例 2． 令r x x ]11 12、x是实数＞.x x )21 22ijn-1， 定义变换v = 2 x =Q : V T V，对于 X G V ,r1 1]r12]XJ 1丿<-11丿◎ (X)=1）证明 Q 是线性变换 （2）求 Q 的秩证明：（1）对于任取a,b g R, X, Y g V ,我们有o (aX + bY)=i]1丿(aX + bY)2、1丿=ao (X) + bo (Y),从而 o 是一个线性变换2）显然r1 0 ], E =r0 1 ], E =r0 0], E =r0 0],0 0,2,00丿3,10丿4,0 1丿是VE=1的一组基。

r1O (Ei) = 1=o(E)，3o(E2)=r-1<-11]=o(E4)从而V的像空间oV由r1 2]r-1 1],1 2 >,,-1 1 丿2．如何求线性变换的核生成，再证它们线性无关，得到 o 的秩是2，对于 7 G O -1(0)， 8 ,8 ,12o(7)=0， 7 =(8 ,8 ,1,8是V的一组基，在这组基下A的矩阵是A，则nr x ]1x2我们得到]O 点)=O (£1，8 2,r x ]r x ]11xx2=(8 , 8 ,,8 ) A2=0••1 2n••,x丿n■• •,x丿n),£nn从而 A厂x '1x2£的坐标满足这个齐次线性方程组；反之亦然当且仅当£ 的坐标满足在例1中，D的核就是子空间P .在例2中，求a的核对于X ea-i(0),我们有a (X) = 0・因为仃 a (X ) = iI11)X1丿I-12)1丿al1x)(12)12x丿22l-11丿(x+ xx+ x、(12)—11211222lx11+ x21x12+ x22丿l-11丿(x+ x-x-x2x+ 2 x+ x+ x )—1121122211211222lx+ x-x-x2x+ 2 x+ x+x丿2211211222112112从而有x + x - x - x = 011 21 12 22x + x - x - x = 0< 11 21 12 222 x + 2 x + x + x = 011 21 12 222 x + 2 x + x + x = 011 21 12 22即:x + x - x - x = 011 21 12 222 x + 2 x + x + x = 011 21 12 22l -1 0丿l0 -1丿x + x — 011 21 —,我们找到a -1(0)的一组基x + x — 012 22三、 定理设A是n维线性空间V的线性变换，则A V的一组基的原像及A-1(0)的一组基 合起来就是V的一组基.由此还有A的秩+ A的零度二n1．推论 对于有限维线性空间的线性变换，它是单射的充要条件是它是满射.例：注意在上述推论中，要求是有限维线性空间， 对于无限维线性空间，推论不一定成立，性空间P [x]中，令D (f (x))二 f'(x)则 D 是满射，但不是单射.2.虽然子空间AV与A-1(0)的维数之和为n，但是AV + A-i(0)并不一定是整个空间. 见例 1例3设A是一个nxn矩阵，A2二A，证明A相似于一个对角矩阵卩 ]110< 0 >证法1:设V是n维线性空间，£ ,£，…,£是V的一组基，在这组基下矩阵A1 2 n对应着线性变换b，即：G (£ , £ , , £ ) = (£ , £ , , £ ) A ,我们有Q 2二Q1 2 n 1 2 n(2) oVp|a-1(0) = 0,从而 V =oV㊉a-1(0)⑶ 在av中选取一组基n, ,n ,在a-i(o)中选取一组基n , ,1 t t +1 n• • • 厂 11从而 A 相似于它.则线性变换a在该基下的矩阵就是证法 2： 对于没有学过高等代数知识, 只学过线性代数可以这样做(1) A2 = A ,我们得到A的特征值是0和1(2) 下面证明 A 有 n 个线性无关的特征向量,(i) 矩阵 A 属于特征值 0的特征向量是 (0E—A)X =0 的非零解, 即 AX =0 的非零解.它的基础解系含n — R(A)个解向量，也就是A属于特征值0的线性无关的 特征向量有 n—R(A) 个.(ii) 矩阵 A 属于特征值1的特征向量是 (E—A)X =0 的非零解, 它的基础解系含 n — R(E — A)个解向量，也就是A属于特征值1的线性无关的特征向量有n — R(E — A)个 两者合起来，矩阵A有线性无关的特征向量2n — R(A) — R(E — A)个，所以我们只须 证明 R(A)+R(E—A)=n(4) 证明 R(A)+R(E—A)=n 见第四章 17, 18(i) A2 = A,我们得到 A(E — A) = 0,从而 R(A) + R(E — A) < n(ii) R(A) + R(E — A) > R(A + E — A) = R(E) = n例4：设A是一个n x n矩阵，A2 = E，证明A相似于一个对角矩阵1、1-1-1丿。