全国高中数学联赛真题9909年.doc

1999年全国高中数学联赛试题（10月11日上午8:00－10：00）一、选择题(每小题6分，共36分)1. 给定公比为q(q≠1)的等比数列{an}，设b1=a1+a2+a3，b2=a4+a5+a6，...，bn=a3n-2+a3n-1+a3n，...，则数列{bn}(  )(A)是等差数列    (B)是公比为q的等比数列(C)是公比为q3的等比数列(D)既不是等差数列也不是等比数列 2. 平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么，满足不等式(|x|-1)2+(|y|-1)2<2的整点(x,y)的个数是(  )(A)16    (B)17    (C)18    (D)25 3. 若(log23)x-(log53)x≥(log23)-y-(log53)-y,则（  ）(A)x-y≥0    (B)x+y≥0    (C)x-y≤0    (D)x+y≤0 4. 给定下列两个关于异面直线的命题：命题I：若平面α上的直线a与平面β上的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么，c至多与a,b中的一条相交；命题II：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线那么，（）(A)命题I正确，命题II不正确(B)命题II正确，命题I不正确(C)两个命题都正确(D)两个命题都不正确 5. 在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。

那么，在上述3名选手之间比赛的场数是（  ）(A)0    (B)1    (C)2    (D)3 6. 已知点A(1,2)，过点(5,-2)的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B,C，那么，△ABC是(  )(A)锐角三角形    (B)钝角三角形(C)直角三角形    (D)答案不确定 二、填空题(每小题9分，共54分)　1. 已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是____ 2. 已知θ=arctg(5/12)，那么，复数 z＝(cos2θ +isin2θ )/(239+i)的辐角主值是____ 3. 在△ABC中，记BC=a，CA=b，AB=c，若9a2+9b2-19c2=0，则ctg C / (ctgA+ctgB)=____ 4. 已知点P在双曲线x2/16-y2/9=1上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P点的横坐标是____ 5. 已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是____。

6. 已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的投影H是△SBC的垂心，二面角H-AB-C的平面角等于30o，SA=2√3那么三棱锥S-ABC的体积为____ 三、(20分)已知当x∈[0,1]时，不等式x2cosθ-x(1-x)+(1-x)2sinθ>0恒成立，试求θ的取值范围四、(20分)给定A(-2,2)，已知B是椭圆x2/25+y2/16=1上的动点，F是左焦点，当|AB| + (5/3)|BF|取最小值时，求B的坐标五、(20分)给定正整数n和正数M，对于满足条件a12+an+12≤M的所有等差数列a1,a2,a3,...,试求S=an+1+an+2+...+a2n+1的最大值　　加试　一、(50分)如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD；在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G求证：∠GAC=∠EAC二、(50分)给定实数a,b,c，已知复数z1,z2,z3满足：{|z1|=|z2|=|z3|=1z1+z2+z3=1z2z3z1求|az1+bz2+cz3|的值三、(50分)给定正整数n，已知用克数都是正整数的k块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3,…,n克的所有物品。

(1)求k的最小值f(n)； (2)当且仅当n取什么值时，上述f(n)块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论2000年全国高中数学联赛试题第一试（10月15日上午8:00-9:40）一、 选择题本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分1． 设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|=},则是 【答】（　 ）(A) {2} (B) {-1} (C) {x|x≤2} (D) 2． 设sina＞0,cosa＜0,且sin＞cos,则的取值范围是 【答】（　 ）(A) (2kp+,2kp+), kÎZ (B) (+,+),kÎZ(C)(2kp+,2kp+p),kÎZ (D)(2kp+,2kp+)(2kp+,2kp+p),kÎZ3． 已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是 【答】（　 ）(A) (B) (C) 3 (D) 64． 给定正数p,q,a,b,c，其中p¹q，若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，则一元二次方程bx2-2ax+c=0 【答】（　 ）(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根5． 平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线的距离中的最小值是(A) (B) (C) (D) 【答】（　 ）6． 设，则以w,w3,w7,w9为根的方程是 【答】（　 ）(A) x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4-x3+x2-x+1=0(C) x4-x3-x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2-x-1=0二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

7． arcsin(sin2000°)=__________.8． 设an是(3-的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…)，则)=________.9． 等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________.10． 在椭圆(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________.11． 一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.12． 如果：(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4}；(2)a¹b,b¹c,c¹d,d¹a；(3)a是a,b,c,d中的最小值， 那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________.三、解答题(本题满分60分，每小题20分)13． 设Sn=1+2+3+…+n,nÎN，求f(n)=的最大值.14． 若函数在区间[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b].15． 已知C0:x2+y2=1和C1:(a＞b＞0)试问：当且仅当a,b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为项点,与C0外切,与C1内接的平行四边形？并证明你的结论。

加试】（10月15日上午10∶00-12∶00）一．（本题满分50分）ABCDEFMN如图，在锐角三角形ABC的BC边上有两点E、F，满足∠BAE=∠CAF，作FM⊥AB，FN⊥AC（M、N是垂足），延长AE交三角形ABC的外接圆于D．证明：四边形AMDN与三角形ABC的面积相等．二．（本题满分50分）设数列{a n}和{b n }满足，且证明a n（n=0，1，2，…）是完全平方数．三．（本题满分50分）有n个人，已知他们中的任意两人至多通一次，他们中的任意n－2个人之间通的次数相等，都是3 k次，其中k是自然数，求n的所有可能值．2000年全国高中数学联合竞赛试题答案1. 答案：D 由得x=2，故A={2}；由得，故B={-1，2}.所以=φ.2． 答案：D 由，得从而有 ∈ ………………①又因为，所以又有∈…………②如上图所示，是①、②同时成立的公共部分为.3．答案：C 如图所示，设BD=t，则OD=t-1，从而B（t-1，t）满足方程，可以得到t=,所以等边三角形，ΔABC的面积是.4． 答案： A由题意知pq=a2，2b=p+c,2c=q+b，bc=≥=pq=a2 .因为p≠q，故bc> a2，方程的判别式Δ= 4a2 -4bc<0，因此，方程无实数根.5． 答案：B 设整点坐标(m,n)，则它到直线25x-15y+12=0的距离为由于m,n∈Z，故5(5m-3n)是5的倍数，只有当m=n=-1，时5(5m-3n)=-10 与12的和的绝对值最小，其值为2，从而所求的最小值为.6． 答案： B 由知，ω，ω2，ω3，ω4，ω5，ω6，ω7，ω8，ω9，ω10(=1)是1的10个10次方根.从而有(x-ω)(x-ω2)(x-ω3)(x-ω4)(x-ω5)(x-ω6)(x-ω7)(x-ω8)(x-ω9)(x-ω10)=x10-1………①由因ω2，ω4，ω6，ω8，ω10是1的5个5次方根，从而有 (x-ω2)(x-ω4)(x-ω6)(x-ω8)(x-ω10)=x5-1 ………②①÷②得 (x-ω)(x-ω3)(x-ω5)(x-ω7)(x-ω9)=x5+1 ………③③的两边同除以(x-ω5)=x+1，得(x-ω)(x-ω3) (x-ω7)(x-ω9)= x4-x3+x2-x+1.所以ω，ω3，ω7，ω9为根的方程是x4-x3+x2-x+1=0.二、填空题（满分54分，每小题9分）7． 答案：-20°sin2000°=sin(5×360°+200°)=sin200°=-sin20°故rcsin(sin2000°)= rcsin(-sin20°)= -rcsin(sin20°)= -20°8．答案：18由二项式定理知，，因此==18.9．答案：=10．答案：90° 如图所示，由c2+ac-a2=0，=0则∠ABF=90°.11． 答案：[解] 如图，设球心为O，半径为r,体积为V，面BCD的中心为O1，棱BC的中心点为E，则 AO1=。