思科数学【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第11讲 极端原理教案.doc

用心 爱心 专心1第十一讲第十一讲 极端原理极端原理考虑极端情况，是解决数学问题的非常重要的思考方式在具体解题过程中，常用到 的极端元素有：数集中的最大数与最小数；两点间或点到直线距离的最大值与最小值；图 形的最大面积或最小面积；数列的最大项或最小项；含元素最多或最少的集合，等等 运用极端原理解决问题的基本思路，就是通过考虑问题的极端情形下的结果及解决极 端情形的方法，寻找出解决问题的一般思路与方法，使问题得以顺利解决 A 类例题 例1在正n棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是( ) (A) (B) 2,n n 1,n n (C) (D) (1994 年全国高中联赛题)0,221,nn nn分析 利用图形的极端位置解题解 当正n棱锥的顶点S向下无限趋近底面正n边形中心时, 所求值趋于π；当S向上运动, 趋向无穷远时, 正n棱锥趋于正n棱柱,所求值趋于正n边形的一个内角(即),故2n n选A. 例 2 有 201 人参加一次考试，规定用百分制记分，得分为整数，证明：（1）总分为9999 分时，至少有 3 人得分相同；（2）总分为 10101 分时，则至少有 3 个人得分相同。

分析 考虑无三人得分相同时的得分取值情况解无三人得分相同的最低分值为：2×(0+1+…99)+100=10000无三人得分相同的最高分值为：2×(1+2+…100)+ 0=10100即无三人得分相同时的得分取值情况为 10000，10001，…，10100所以（1）总分为 9999分时，至少有 3 人得分相同；（2）总分为 10101 分时，则至少有 3 个人得分相同说明 从极端情形考虑无三人得分相同的最低分值是得 0，1，…，99 分各 2 人，得 100 分 1 人；无三人得分相同的最高分值是得 1，2，…，100 分各 2 人，得 0 分 1 人 情景再现1．已知长方形的 4 个顶点 A(0 ,0) ,B(2 ,0) ,C(2 ,1) 和 D(0 , 1),一质点从 AB 的中点 P0 沿与 AB 夹角为 θ 的方向入射到 BC 上的点 P1后依次反射到 CD 、DA 和 AB 上的点是 P2 、P3和 P4 (入射角等于反射角). 设 P4的坐标为(x4 ,0),若 10)恒成立, 求实数 a 的aa取值范围.分析 用分离变量的方法处理恒成立的问题，即 a>f(x)对任意 x 恒成立等价于a>max｛f(x)｝.解 当 lg a >0 ,即 a >1 时, 则不等式对任意正自然数 n 恒成立, 因为1nan当 n 无限增大时,n 无限接近于 1 ,且1 ;1n n当 lg a 1. 1 2说明 本题考虑了取值中的极端情形，而极值的取得充分利用了函数 f(n)= 1n n单调递增的性质。

1n n例 4 已知二次函数 y = ax2+ bx + c( a >0) 的图象经过 M( 1-, 0),N ( 1+ , 0) , P (0 , k) 三点, 若∠MPN 是钝角, 求 a 的取值范围. 分析 若利用余弦定理, 并由-10 知: 点 P 应在 y 轴的负半轴上. 把 P (0 , k) 的坐标代入 y = a( x -1+ )( x -1 -) 得 a =-k, 因此,01),就有 f(x+t)≤x, 1 4 则 m 的最大值是( ) 用心 爱心 专心4(A)8. (B) 9. (C)10. (D)11. 4．现有 20 张扑克牌,分别是 4 张 10 , 4 张 9 ,4 张 8 ,4 张 7 ,4 张 6. 为了确保 摸出 4 对同数字扑克牌,则至少要摸出多少张? C 类例题 例 7 给定平面上不全在一直线上的有限个点，试证：必有一条直线只经过其中的两 点． 分析 该命题是英国著名数学家西勒维斯特（Sylvester，1814-1897）提出的，故称之 为西勒维斯特问题．这个问题也可以叙述为： 设是平面上的有限点集，若过中任意两点的直线上还存在有的点，则集合 中的所有点共线． 西勒维斯特问题初看起来结论似乎比较“显然” ，应该不难证明．但实际上这个问题提 出近 50 年的时间内无人解决． 解 设所有的点（有限）构成集合，点，集合表示由至少过 A 中两点的全P体直线构成的集合，．表示点 P 到直线 的正距离（ 不通过点 P） ，表示l,d P lll所有的集合．,d P l因为中的点不全在一直线上，所以非空，又是有限集，所以也是有限集，于是中有一个最小元素，设为．下面证明：直线只经过中的两点．0,d P mm假定经过中的至少三个点，例如经过，，．设点在直线上的垂足m1P2P3P0Pm为，那么点的一侧必有两个点（其中一个点可能和重合） ，设为，，且Q2P3P．另直线为经过、的直线，显然．这与32QPQPn0P3P20,,d P nd P m的最小性矛盾，从而只能经过两个点．0,d P mm说明 与西勒维斯特问题相应，有一个对偶的命题：在平面上给定条两两互不平行的n 直线，若对于它们中任何 2 条直线的交点，都有这条直线中的另一条过这点．则这条nn 直线共点． 例 8 设有 2n×2n 的正方形方格棋盘，在其中任意的 3n 个方格中各放一个棋子，求证： 可以选出 n 行 n 列，使得 3n 枚棋子都在这 n 行 n 列中。

分析 考虑尽可能选取棋子数目较多的 n 行解 在各行棋子中，一定有一行棋子最多，设有枚棋子 从剩下的行中找一1p12 n行棋子最多的，设有枚，…，找行，共有枚棋子，则所选行至少2pnnpppL21n有枚棋子否则，若≤，则n2npppL2112 n≥∴，，…，中必有一个不大于nnnppp221L1n1p2pnp1，，，…，中必有一个大于 1，与≥≥…≥矛盾∴剩下的枚1np2npnp21p2pnp2n用心 爱心 专心5棋子从列中选即可n 说明 本题是极端原理在操作策略上解题的一个应用 情景再现 5 5．已知：在△ABC 中，∠A＞90°，AD 是 BC 边上的高，求证：AB＋AC＜AD＋BC 6 6．已知有 10 张圆纸片，它们盖住的平面图形的面积为 1证明：可以从中选出若干张互不重叠的圆纸片，使得它们的面积之和不小于91习题A A1．把 16 个互不相等的数排成下表：11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44a先取出每一行最大的数，共得 4 个数，设其中最小的数为 x，再取出每一列中最小的数，也得到 4 个数，设其中最大的数为 y，那么 x，y 的大小关系是 ( )A. x＝y B. x＜y C. x≥y D. x≤y。

2．已知 n 是自然数，且 n≥2，那么方程，在正整数nnxxxxxxKK2121范围内的解 （ ）A. 不存在 B. 有且仅有一组 C. 至少有一组 D. 至少有 2n 组3．设有 n（n≥2）名选手进行乒乓球比赛，任两名选手都进行一场比赛，每场比赛均决出胜负，求证：存在选手 A，使得其他的任一选手，或是输给 A，或是输给被 A 打败的某一名选手4．25 个人组成若干个委员会，每个委员会都有 5 名成员，每两个委员会至多有一名 公共成员证明：委员会的个数不超过 30 5 5．平面上有 4 个点，其中任意三个点作成的三角形面积都小于 1，试证明：存在一个 面积小于 4 的三角形包含这 4 个点6．两圆外切于点 P，过 P 点作两条互相垂直的割线 APC，和 BPD，设两圆的直径为m，n求证：AC2+BD2为定值B用心 爱心 专心67．解方组，其中（i=1，2…，4）为正数2 2142 1432 4322 321xxxxxxxxxxxxix8．证明：方程 不存在正整数解。

)(32222uzyx9．将自然数 1 至 100 填入 10×10 个方格中，每格一个数，求证：无论怎样安排，总不能使每两个有公共边的方格中所填数之差都不超过 510．对于任意一个大于 1 的自然数 n 而言，把 n2个自然数 1，2…..n2，随着填入n×n 的方格中，每格填一个数，试证明：总有两个相邻的方格，即具有公共边的两个方格中，所填写的两个数的差的绝对值不小于21nC11．网球比赛，20 人参加 14 场单打比赛，每人至少上场一次，求证：必有 6 场比赛，其中 12 个参赛者各不相同．12． 在空间给定个点的集合，其中任何四点不共圆，任何三点构成三角形，且n有一个内角大于．求证：可以把这个点排序为，，…，，使2 3n1A2AnA2 3ijkA A A对任何满足的数组都成立．1ijkn , ,i j k本节“情景再现”解答：1 1．分析 考虑边缘位置:P1为 CB 的中点时, 易知 P2、P3和 P4也应是各边的中点,此时tan θ = ,该值应是界值,故选 C. 1 22 2．解 显然, PA, PB 是直线 的极端位置,而 kPA =2 , lk PB = ，由直线斜率变化规律知,直线 的斜率 3 4l为 k ≥2 或 k ≤ ,故选(C) . 3 4 3 3．作函数 y = x 的图象, 平移函数 y=f(x)的图象使之与 直线 y = x 交于点(1 ,1) 和(m, m ),其中 m>1.此时所得的图 象是 y = f(x + t) 的图象的极端位置, 于是,解方程组用心 爱心 专心7结合 m>1 ,t =-4. m=9. 所以,m 的最大值是 9 ,选(B) .f(1+ t) =1 , f(m + t) = m4 4．考虑最不利的情形, 先摸的 5 张都是不同数字, 再摸第 6 张必有 2 张成对, 拿出 这一对,余下 4 张,再摸第 7 张,又考虑最不利的情况— 第 7 张与余下的 4 张互不成对, 于是摸出第 8 张必又有一对,故至少摸出 8 张才能保证有两对. 不难想象, 以后每摸出 2 张必又确定一对. 因此,至少摸出 2 ×4 + 4 = 12 张才能确保摸出 4 对. 5 5．构造特殊状态——直角三角形。

从 A 引 AE 交 BC 于 E，使∠BAE=90° ∴AB2+AE2=BE2，且 AB·AE=BE·AD∴(AB+AE)2= AB2+AE2 +2AB·AE= BE2+2BE·AD 2 时，在221 xx中，令，则nnxxxxxxKK2121143nxxxK1) 1)(1(21nxx至少有或所以原方程至少有组解故本题选 C  nxx212 221 xnx) 1( nn3 3．设 A 是赢球场数最多的人⑴对其他的任一选手 B，若输给 A，则得证⑵若 B 不12345678910111213141516用心 爱心 专心8输给 A，即赢 A若 B 没有输给被 A 打败的任一个人，即 B 赢了被 A 打败的任一个人，则B 赢的场数超过 A 赢的场数，与 A 是赢球场数最多的人矛盾∴本题得证4．设有 x 个委员会，并设 A 是参加委员会最多的人，设 A 参加了 n 个委员会平均每人参加委员会的个数为≤n，即有 x≤5n考虑 A 参加的 n 个委员会，总人数为5255xx4n＋1≤25，n≤6，∴x≤5n≤305 5．．以给定的 4 个点（A、B、C、D）为顶点的三角形数目 是有限的，不妨设 ΔABC 是其中面积最大的一个三角形。

过 A、B、C 分别作对。