几何学的发展简述.pdf

几何学的发展历程几何学是一门历史悠久、源远流长的学科因为它与人类的生活密切相关，所以在人类的早期文明里， 它凭借丰富的直观形象和深奥的内在本质，成为当之无愧的老大哥在人类历史的长河中， 无论在思想领域的突破上，还是在科学方法论的创建上，几何学总扮演着 “开路先锋”的角色下面就来了解一下几何学的发展史一、欧几里得与《几何原本》欧几里得是古希腊数学的集大成者, 是古希腊亚历山大学派的创始人从公元前7 世纪到公元前4 世纪 , 伴随着哲学的发展, 古希腊数学 , 特别是几何学获得了充分的发展, 积累了丰富的材料要进一步促进数学的发展, 同时满足教学的需要, 如何把这些材料整理成/ 逻辑严密的系统知识就成了当时希腊数学家的非常重要且非常艰巨的一项任务欧几里得总结了前人的经验和教训, 巧妙地把亚里士多得的/ 逻辑学和数学结合起来, 精细地选择命题和公理 , 合理地安排知识的顺序, 使之能从很少的几个原始命题( 或说公理 ) 开始逻辑地展开于是 , 人类历史上的第一部( 我们可以这样认为) 数学理论著作 ---《几何原本》诞生了, 第一个公理化的逻辑体现出现了它共有十三卷, 包含了 465 个命题 , 所涉及到的知识包含平面几何、立体几何、比例论、初等数论、无理数等知识。

欧几里得几何从此成为经典几何的代名词二、非欧几何的诞生直到 18 世纪末，几何领域仍然是欧几里得一统天下.虽然解析几何实现了几何学研究方法的革命，但没有从本质上改变欧氏几何本身的内容然而，这个近乎科学“圣经”的欧几里得几何并非无懈可击到1800 年时，平行线公理已经成了几何学瑕站的标志因此，从古希腊时代开始， 数学家们就一直没有放弃消除对第五公设疑问的努力来自不同国家的三位数学家相继独立地发现了非欧几何学.他们是德国的高斯句牙利的J.波尔约和俄国的罗巴切夫斯基从 18 世纪 90 年代起，高斯就一直对平行线理论和几何学的基础感兴趣.在 1805 年的一个笔记本里，高斯考虑到了已知直线距离一定的点的轨迹未必是一条直线.他还曾经证明:非欧假设隐含着绝对长度单位的存在性.但他在生前从未发表过他关于这个问题的观点一方面，因为他对自己极为苛求而不愿发表任何自己认为不够完美的东西另一方面， 他害怕这些思想的发表会引起争议，基于这些原因， 高斯有关这个主题的工作只是在他死后从他的注记和信件里才为人所知高斯思想的发展大约可分两个阶段第一阶段里高斯还打算证明平行公理但到1813 年后，高斯开始认识到可以否定平行公设而建立一种几何学，他先称之为反欧几里得几何，后又称为星空几何，最后才用非欧几何这个词。

高斯认为，空间的本性不是先验的，它可以被人们所认识和了解;几何是物质空间的一门科学，它与力学一样，具有某种经验主义的特征但是对于欧氏几何学数千年的垄断性的全线突破与非欧几何体系的全面探讨，还有待于句牙利的J.波尔约和俄国的罗巴切夫斯基分别在1830 年前后发表的划时代的著作 J.波尔约另辟新径，沿着另一条道路前行，即对欧几里得平行公设的一种否定:过直线外一点可以作无穷多条直线不与该直线相交.J.波尔约把他的重大创见精练地写成了仅有 26 页的短文发表于1832 年文章的题目为《绝对空间的科学》，在非欧几何的三位发明人中， 只有罗巴切夫斯基最早、最系统地发表了自己的研究成果，并且也是最坚定地宣传和捍卫自己的新思想的一位.1826 年，罗巴切夫斯基已经得出结论:在欧氏几何学里，第五公设独立于其它公理在1826 年的数学物理系的学术会议上，他做了题为《平行线理论和几何原理概述及证明》的报告， 并在这篇文章里考虑了非欧几何学的可行性，第一次提出了他关于非欧几何的思想他在这篇论文里还讨论了“虚几何学”的起源， 后来这个系统以罗巴切夫斯基几何学(双曲几何学 )著称在虚几何里，像高斯和J.波尔约一样，罗巴切夫斯基以同样的方式定义了平行直线:存在某一直线L 以及其外一点P，使得经过P 至少可作两条不同的直线与L 平行。

三角形的三个内角之和不可能比π大，但这个和可以等于π 或比 π小无论假设哪一种情况都不会导致矛盾，因此产生了两种几何学:一种是与所有的实际测量都一致的几何学，它由于简单到现在还有用;另一种是虚几何学，它更一般1829 年，他正式发表了题为《论几何学基础》的论文，这是历史上第一篇公开发表的非欧几何学文献.他的《虚几何》、 《虚几何在某些积分上的一个应用》和《具有完备的平行线理论的几何新基础》，先后于 1835 年、 1836 年和 1835 一 1838 年在《喀山大学研究通告》上发表，论述他关于平行公设的研讨和他对于新创立的几何体系的探索，这些文章也都致力于深入地发展和应用他发现的几何学在积累前辈工作的基础之上，三位数学家都做出了划时代的发现，向传统的欧氏几何的统治地位提出了挑战但是，一方面，高斯不发表关于新几何学的工作，而另两位年轻的创始人在表述上晦涩难懂;另一方面，康德关于空间的欧氏性质的思想仍然占统治地位这些原因从根本上导致了双曲几何学在创立以后很久的时间里没有得到人们应有的重视但是，高斯的曲面理论以及黎曼的高维弯曲流形的理论为把非欧几何学变成一个更有地位的数学分支铺平了道路.高斯在1827 年发表了《关于曲面的一般研究》，开始重点研究曲面及其性质.他以二次微分形式为基本工具，奠定了二维的局部微分几何的基础。

更为重要的是，他提出了曲面内蕴几何的概念，开创了这个领域里研究的先河，为黎曼将来的工作打下了坚实的基础1854 年，黎曼为了取得哥丁根大学无薪讲师的资格，对全体教员做了一次演讲，该演讲在其逝世后于1868 年以《论作为几何基础的假设》为题发表，它是几何学史上的一个里程碑它不仅是整个数学中一篇伟大的杰作，而且在表述上也是一个典范.黎曼第一个完成了分析几何学的所有假设的任务，并且证明了哪些假设是独立的黎曼组织对几何学的论述围绕流形这个新概念这个概念是他的文章的核心概念他的创新体现在如下几方面:1.将高斯关于欧氏空间中曲面的内蕴几何推广为任意空间的内蕴几何.2.采用解析的途径创立了黎曼几何学 .3.推广了高斯关于曲面总曲率(高斯曲率 )的概念， 引进了黎曼空间的曲率的概念.4.区分“无限”与“无界”的概念. 接下来， 非欧几何学中的一个重要问题是它的逻辑相容性的问题，它的解决结束了从欧几里得的其它假设推出平行公设的尝试1565 年，意大利数学家贝尔特拉米发表了《非欧几何学解释的尝试》 ，给出了第一个这样的模型他在罗巴切夫斯基平面的一个片段与伪球面上的一个片断之间建立了点的对应关系，把曲面上的测地线看作直线，曲面上的长度和角度是普通欧几里得几何曲面上的长度和角度，从而把罗巴切夫斯基几何解释为伪球面上的内蕴几何 .贝尔特拉米对这样的一个模型的存在性证明是一个关键性的转折点。

因为直到那时，人们还是相信 :欧氏几何学与非欧几何时完全对立的但贝尔特拉米的工作明确表明:如果欧氏几何学是正确的，那么非欧几何学也是正确的它使非欧几何在逻辑相容性上具有与欧氏几何同样的可信度三、射影几何在费马和笛卡儿创建解析儿何学以后的100 多年间，代数和分析的方法在几何学中居于统治地位到了19 世纪初，一些大数学家深感综合几何学受到了“不公正地” 对待， 因而做出积极的努力来复兴和发展它从此， 射影几何学开始复兴这时期的数学家主要从综合法和代数法两个方面使射影几何趋于完善 .在综合法方面，法国数学家庞斯列的《论图形的射影性质》堪称是射影几何学里程碑式的著作.《论图形的射影性质》这部著作给几何学家们留下了十分深刻的印象，这个书名最终导致了使用“射影几何学”这个术语. 与此同时， 代数的方法也被用来研究射影几何学但他们在研究过程中都使用了度量概念德国数学家施陶特以一种摆脱代数和度量关系的全新方法建立了射影几何学庞斯列还开辟了复射影几何研究的领域他指出:在复射影空间中的两个非退化的二次曲线具有相同的特性，全部二次曲面都有(实的或虚的 )生成系统因此，庞斯列的专著导致了最初射影几何学产生过程的高潮。

射影几何学的内容被定义，它的基本概念、 法则和最重要的定理 (通过应用综合法获得的)也已经建立四、几何学的统一19 世纪中叶以后，通过否定欧氏几何中这样或那样的公设、公理，一度掀起了构造各种几何学的高潮，加上与之并行发展的高维几何、微分几何以及较晚出现的拓扑学等，19 世纪的几何学种类如雨后春笋般不断涌现，呈现出异彩纷呈、多样化的局面， 展现了无限广阔的发展前景在这样的形势下，寻找不同几何学之间的内在联系，用统一的观点来解释它们，便成为数学家们追求的一个目标.在详细总结施陶特、凯莱等前辈的工作的基础之上，19 世纪伟大的数学家克莱因成功地把欧几里得几何、非欧几何等度量几何归结在射影几何学名下，成为用群论来统一几何学的前奏.若尔当发表的《置换与代数方程专论》和《关于运动群的研究报告》又为克莱因提供了统一几何学的工具一一变换群。