理论力学chapt.2.ppt

第二章 质点组力学,2.1 质点组(system of particles ),（1）质点组的内力(internal force )与外力(external force ),由多个质点构成，其中每一个质点的运动都可能与 其他质点的位置和运动有关，这种力学体系称为质点组1、质点组的概念,2、质点组的内力与外力,质点组内部各质点间的相互作用称为质点组的内力,遵从牛顿第三定律，即内力总和为零,,同时，对某参考点,,3、解决质点组运动的途径,由于质点系内部相互的作用，运动彼此相互影响， 往往使得求解过程非常复杂，当质点系中质点的数目超 过两个，运动的一般求解就比较困难因而在实际问题 中，求解质点系整体运动特征不仅必要而且成为可能 质点系动量、角动量、能量的定理及其守恒律就成为 质点系力学的研究核心2）质心(center of mass ),质心是质点系中的一个相对质量的位置中心，定义如下,,2.2 动量定理与动量守恒定律,（1）动量定理,质点系的动量,,由牛顿第二定律,,取和并注意内力的特点,,上式就是质点组的动量定理,其分量式为,或表示成微分式,（2）质心运动定理,将质心定义式用于质点组的动量表示式，有,代入质点组的动量定理,,上式即为质心运动定理,（3）动量守恒定律,当,时，有,,恒矢,这时质心做惯性运动,若仅有,则,例：p.119,2.3动量矩定理及守恒律,1、对固定点O的动量矩定理,选参考系中一固定点O，由质点的动量矩定理,,其中,,求和后有,,注意到其中,,,所以,,上式就是质点组的动量矩定理,或写成,在直角坐标系中，其分量形式为,（2）动量矩守恒律,由动量矩定理知，当,,时，有,,上式称为质点组的动量矩守恒定律,若仅当,时，,（3）对质心的动量矩定理,建立质心平动系,在质心系中，由动力学方程,得,但知,而,所以,,其中,,,p.124例,2.4 动能定理与机械能守恒律,（1）质点组的动能定理,,将质点的动能定理求和，得,即,,其中内力功有以下特点,以两质点间相互作用力功的代数和 为例,,其效果相当于相对功,（2）机械能守恒律,若只有保守外力和保守内力作功，则,,则有,这是质点组机械能守恒定律,（3）柯尼希(konig)定理,建立质心平动系,该式表明，质点系的动能等于质心的动能与相对 质心动能之和,（4）对质心的动能定理,在质心平动系中有,所以,即有,例p128,2.5 两体问题,由两个质点组成的相互作用系统称为两体系统。

在天体力学和微观粒子散射中，两体模型都具有典 型的力学意义两质点在同一惯性系中的动力学方程分别为,,,两式合并为,引入相对位矢,,上式改写成,,引入折合质量(reduced mass ),,则两体间的相对动力学方程 为,,将上述两体相对动力学方程应用到太阳系中，行星 相对太阳的动力学方程为,,或改写成,,较之将太阳看作惯性系中的一个固定点时的情形， 须将高斯常数修正为,,这一修正将引起对开普勒第三定律的修正因为,,因此,从上式不难看出，各行星半长轴的立方与周期的平方 之比不再是与行星性质无关的常数，而与行星的质量 有关，但太阳系中最大的行星木星的质量也仅有太阳 质量的,，故由此带来的修正微乎其微2.6 质心坐标系与实验室坐标系,两体散射的问题可以分别在质心坐标系和实验室坐 标系中讨论,一、散射角 实验室坐标系和质心坐标系,1、散射角(scattering angle ),（1）两体运动时的散射角为两质点相对位矢的偏转角,（2）单体运动时散射角为被散射质点运动方向的偏转角,质心系：,在实验室系中有质心速度,在质心系中有,两系速度变换如图,,由于在质心系中恒有,结合弹性碰撞,可以得到,因此,讨论：1、当,时，（重靶）,2、当,时，,三、散射中的动能转移,在实验室系中,,,,,,而,,所以,,2.7 变质量物体（object with variable mass ）的运动,变质量体系可分为两种：,质量随时间增加，,；质量随时间减少，,,,时刻，,系统,,,与质量为,，速度为,的小质量物体,经过极短的时间,结合，,物体系统质量、速度分别变成,，和,,此过程作用于,与,上的外力总和为,则由质点系的动量定理得,略去高阶小量并取微商，得,,或写成,,其中,，为相对结合（分离）速度,两式均称为变质量物体系统的动力学方程，也称为密 歇尔斯基方程。

讨论：,当,时,当,时,例 p.138,,,,火箭(rocket )的运动,火箭通过燃料燃烧后产生的废气的剧烈喷发而获得 运动速度，是典型的质量减少系统的运动由,,不难发现火箭运动是从,,中获得巨大推动，,因此该项也称为“助推力”略去火箭运动中受到的外力，方程可简化为,,分离变量后，,,其解为,,因而火箭的终极速度为,,显然火箭的终极速度取决于两个因素：燃料喷发速度,,和燃料与箭体质量比,,(齐奥尔科夫斯基数),但当,达到,,，欲使火箭达到第一宇速,，齐奥尔科夫斯基数也将达到100左右现代火箭多采用多级制,第一级火箭燃烧完毕应达到的速度为,其中,,是第一级火箭携带的燃料质量，,,是除去第一级燃料质量后的火箭质量；,同理，第二级火箭燃烧完毕后的速度应为,,显然增速比单级火箭方式明显加大,若采用,,级火箭，火箭的终极速度将是,,但在实用技术上，随着火箭级数的增加，这种较单级火 箭的增速优势也逐渐降低，一般只采用三到四级火箭,。