普通线性代数试题及答案.doc
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九江学院线性代数习题和答案第一部分 选择题 (共28分)一、 单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内错选或未选均无分1.设行列式=m，=n，则行列式等于（ ） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n2.设矩阵A=，则A-1等于（ ） A. B. C. D. 3.设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ ） A. –6 B. 6 C. 2 D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ ） A. A =0 B. BC时A=0 C. A0时B=C D. |A|0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（ ） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（ ） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ ） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.η1+η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ ） A.秩(A)
错填或不填均无分15. .16.设A=，B=.则A+2B= .17.设A=(aij)3×3，|A|=2，Aij表示|A|中元素aij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= .18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= .19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为 .20.设A是m×n矩阵，A的秩为r( 29.设矩阵A=.求：（1）秩（A）；（2）A的列向量组的一个最大线性无关组30.设矩阵A=的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.31.试用配方法化下列二次型为标准形 f(x1,x2,x3)=，并写出所用的满秩线性变换四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解； （2）η0，η1，η2线性无关答案：一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）1.D 2.B 3.B 4.D 5.C6.D 7.C 8.A 9.A 10.B11.A 12.B 13.D 14.C二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分）15. 6 16. 17. 4 18. –1019. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c为任意常数20. n-r 21. –5 22. –2 23. 1 24. 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25.解（1）ABT==. （2）|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=.所以|4A|=64·（-2）=-12826.解 ==27.解 AB=A+2B即（A-2E）B=A，而（A-2E）-1=所以 B=(A-2E)-1A==28.解一 所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）.解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，即 方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.29.解 对矩阵A施行初等行变换A=B.（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。 A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30.解 A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为ξ1=（2，-1，0）T， ξ2=（2，0，1）T.经正交标准化，得η1=，η2=.λ=-8的一个特征向量为ξ3=，经单位化得η3=所求正交矩阵为 T=.对角矩阵 D=（也可取T=.）31.解 f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.设， 即，因其系数矩阵C=可逆，故此线性变换满秩经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形 y12-2y22-5y32 .四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32.证 由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，所以E-A可逆，且（E-A）-1= E+A+A2 .33.证 由假设Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2个解2）考虑l0η0+l1η1+l2η2=0，即 （l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=0.则l0+l1+l2=0，否则η0将是Ax=0的解，矛盾。 所以l1ξ1+l2ξ2=0. 又由假设，ξ1，ξ2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而 l0=0 .所以η0，η1，η2线性无关一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1、设，为n阶方阵，满足等式，则必有（ ）(A)或; (B)； （C）或; (D)2、和均为阶矩阵，且，则必有（ ）(A) ； (B)； （C） . (D) 3、设为矩阵，齐次方程组仅有零解的充要条件是（ ）(A) 的列向量线性无关； (B) 的列向量线性相关；（C） 的行向量线性无关； (D) 的行向量线性相关.4、 阶矩阵为奇异矩阵的充要条件是（ ）(A) 的秩小于； (B) ；(C) 的特征值都等于零； (D) 的特征值都不等于零；二、填空题（本题共4小题，每题4分，满分16分）5、若4阶矩阵的行列式，是A的伴随矩阵，则= 6、为阶矩阵，且，则 7、已知方程组无解，则 8、二次型是正定的，则的取值范围是 。 三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）9、计算行列式10、计算阶行列式四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分写出证明过程）11、若向量组线性相关，向量组线性无关证明：(1) 能有线性表出；(2) 不能由线性表出12、设是阶矩方阵，是阶单位矩阵，可逆，且证明（1） ；（2） 五、解答题（本题共3小题，每小题12分，满分32分解答应写出文字说明或演算步骤）13、设，求一个正交矩阵使得为对角矩阵15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知，，是它的三个解向量，且，求该方程组的通解解答和评分标准一、选择题1、C； 2、D； 3、A； 4、A二、填空题5、-125; 6、； 7、-1； 8、三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：第二列减第一列，第四列减第三。
