《空间中的距离》第一课时示范公开课教学设计【高中数学】.docx

《空间中的距离》教学设计第一课时◆ 教学目标1、理解图形与图形之间的距离的概念.，提升学生的数学抽象素养.2、理解并掌握两点之间、点到直线的距离的概念及它们之间的相互转化,会用法向量求距离．提升学生的数学抽象数学运算的素养.◆ 教学重难点◆ 教学重点：两点之间的距离及点到直线的距离的概念及求法．教学难点：把空间距离问题转化为向量问题来求解．◆ 课前准备 PPT课件．◆ 教学过程一、整体概览问题1：阅读课本第52-55页，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节主要学习空间中的距离第一课时两点间的距离及点与直线的距离．（2）学生在学习了平面中距离概念的基础上，提出空间距离的问题，在解决空间距离的问题中，依然按照将空间问题化为平面问题、将立体几何问题化为空间向量运算问题的基本思路展开．为培养学生直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算的核心素养提供舞台．设计意图：通过对本节知识内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.2、 探索新知形成定义问题2： “距离”在生活中随处可见，例如，我们常说某两地之间的距离是多少，汽车的刹车距离是多少，等等．数学中的“距离” 的概念是从生活中的具体问题中抽象出来的，要求具有准确的定义，以避免歧义，到目前为止，你学过哪些平面内的“距离” ，这些“距离”的定义有什么共同点？由此你能得到空间中任意两个图形之间的距离具有什么性质吗？师生活动：学生在教师的指导下写出答案．预设的答案：两点间的所有连线中,线段最短,连接两点间的线段的长度称为两点间的距离;从直线外一点到这条直线所作的线段中,垂线段最短,它的长度称为这个点到直线的距离．两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离,称为这两条平行线之间的距离由上可以看出,这些距离都可以归结为点与点的距离,而且是所有的点与点之间最短连线的长度，例如,如图所示△ABC中,BC边上的高AD的长就是顶点A到直线BC的距离,也就是A与直线BC上的点的最短连线的长度．显然,空间中任意两个图形之间的距离也具有类似的性质,此距离要小于等于两个端点分别在这两个图形上的线段长．设计意图：引导学生学会观察、分析、直观想象,总结出各种距离的共同点及其本质.引导学生思考空间中任意两个图形之间的距离概念,启发学生有将空间问题转化到平面问题解决的思路.引导学生对此处的三段内容进行归纳,既要有知识的认同,也要有研究、学习方法的获得,进而培养学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象的核心素养．问题3：请根据上述描述得出引导学生得出图形与图形的距离的概念:师生活动：学生在教师的指导下写出答案．预设的答案：在几何学中,一个图形内的任一点与另图形内的任一点的距离中的最小值,叫作图形与图形的距离(如下图所示).这里的图形指的是任意的几何图形,设计意图：两个图形距离的概念是定义空间四种距离的理论基础,教学时教师可以根据情况进行解说.1、 空间中两点之间的距离问题4：请根据上述描述得出空间中两点之间的距离的概念:师生活动：学生在教师的指导下写出答案．预设的答案：空间中两点之间的距离指的仍是这两个点连线的线段长,因为向量的度表示的是向量的始点与终点之间的距离,所以可通过向量来求空间中两之间的距离．设计意图：由上述概念的引入，自然引出两点之间的距离公式，由学生自己得出，强化学生的逻辑推理素养．三、初步应用例1:如图所示,已知是平行六面体,,,求的长.师生活动：学生自行解答，由老师指定学生给出答案．预设的答案：由已知可得不共面,而且,从而，又因为,所以，，因此，,即所求长度为设计意图：例1介绍了利用向量的模的概念研究空间中两点间的距离的方法.题目所给的几何体相对较为复杂,这里没有建立空间直角坐标系,而是运用向量的一般运算进行求解,充分体现了向量在解决较为复杂的立体几何问题时的便利性和应用的广泛性问题5：请根据上述描述得出空间中点到直线的距离的概念师生活动：学生自行解答，由老师指定学生给出答案．预设的答案：给定空间中一条直线及外一点A,因为与A能确定一个平面,所以过A可以作直线的一条垂线段,这条垂线段的长称为点A到直线的距离.点到直线的距离也是这个点与直线上点的最短连线的长度．例如,如图1-2-42所示,点A是直线外一点,若AB是直线的垂线段,则AB的长度就是点A到直线的距离,这一距离也等于|AB|设计意图：这里体现了两个方面，一是在空间中仍是过直线及直线外一点有且只有一个平面，二是过直线外一点作已知直线的垂线段有且只有一条．例2：已知正方体的棱长为1，求点到直线的距离． 师生活动：学生自行解答，由老师指定学生给出答案．预设的答案：以D为原点, 的方向分别为轴正方向，正方体的棱长为单位长度，建立如图所示直角坐标系，则：,因此，,设E满足且,则即,所以,又因为，即．解得，所以，从而可知点到直线的距离为设计意图：例2介绍了在具体的几何体中求点到直线的距离的思维过程与方法.变式训练：请同学们尝试不借助空间向量求点到直线的距离．预设的答案：连接,由正方体的棱长为1，可得,因此相似，可得,或由三角形的面积=,可得.设计意图：向学生渗透数形结合思想的应用,强化学生数与形的思维转换,提升学生逻辑推理和数学运算等核心素养．问题6：用空间向量求点到直线距离的基本方法是什么？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：在空间直角坐标系内,用已知线段的向量表示出直线的一个方向向量;用已知线段的向量刻画垂足;根据直线与垂线段的垂直关系(数量积为0)求垂足的坐标;求出垂线段的向量;求出垂线段的向量的模．问题7：引导学生探究、总结求点P到直线AB的距离的基本方法是什么？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：(方法一)可在直线AB上取一点Q,令,通过取最小值求得参数,以确定Q的位置,则即为点P到直线AB的距离.(方法二)设点P到直线AB的距离为d,如右图所示,在直线AB上取点Q,先求,进而求,则设计意图：引导学生在比较的过程中分析不同方法的共性与差异,进而发现解决问题的关键.同时,空间向量在立体几何中应用,要建立在对向量基本知识的理解上,不能只停留在对解决方法程序的记忆和演练,过多重复性的解题操作步骤演练不利于学生思维的提升．四、归纳小结，布置作业问题8：空间中两点之间的距离、空间中点到直线的距离分别是什么？师生活动：在教师的指导下共同讨论．预设的答案：空间中两点之间的距离指的仍是这两个点连线的线段长,因为向量的度表示的是向量的始点与终点之间的距离,所以可通过向量来求空间中两之间的距离．给定空间中一条直线及外一点A,因为与A能确定一个平面,所以过A可以作直线的一条垂线段,这条垂线段的长称为点A到直线的距离.点到直线的距离也是这个点与直线上点的最短连线的长度．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生更加明确空间中两点间的距离和点到直线的距离．布置作业：教科书第58页练习A1,2,3．五、目标检测设计1．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|等于(　　)A．　　　　　　　　 B．C． D．设计意图：考查两点之间的距离公式的应用．2在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，M是平面ABC内一点，且点M到其他三个平面的距离分别是2,3,6，则点M到顶点P的距离是(　　)A．7　　　　B．8　　　C．9　　　D．10设计意图：考查两点之间的距离公式的应用．3．　已知直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90，求点B到直线A1C1的距离．设计意图：考查点到直线的距离的求法．参考答案：1．C　[∵M点坐标为，∴|MC|＝＝．]2．A　[以P为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(图略)，由题意，得|MP|＝＝7．]3．[思路探究]　建立空间直角坐标系，利用向量法求解．[解]　以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则A1(4,0,1)，C1(0,3,1)，所以＝(－4,3,0)．设E满足＝λ，且BE⊥A1C1，则＝＋＝(4,0,1)＋λ(－4,3,0)＝(4－4λ，3λ，1)，又⊥，∴(4－4λ，3λ，1)(－4,3,0)＝0，∴λ＝．∴＝，∴||＝＝，∴B到直线A1C1的距离为．。