福建师范大学2021年12月《复变函数》期末考核试题库及答案参考23.docx

福建师范大学2021年12月《复变函数》期末考核试题库及答案参考1. 不能被5整除的数是A、115.0B、220.0C、323.0D、425.0不能被5整除的数是A、115.0B、220.0C、323.0D、425.0正确答案：C2. 欧几里得算法又称辗转相除法 )欧几里得算法又称辗转相除法 )正确答案：√3. 若f∈L(X)，则( )A.f在X上几乎处处连续B.存在g∈L(X)使得|f|=gC.若∫Xfdu=0，则f=0，a.e.参考答案：B4. 所有的微分方程都有通解吗？所有的微分方程都有通解吗？不是，所谓微分方程的通解，是指含有任意常数且任意常数的个数与方程的阶数相同的解，以下两个方程：    |y'|2+1=0   (1)    与    y'2+y2=0，    (2)    显然方程(1)无解，方程(2)只有解y=0．可见并非所有的微分方程都有通解． 5. 设随机变量X的分布律为 X α 0 β p 0.4 r 0.1设随机变量X的分布律为 Xα0βp0.4r0.1  且E(X)=0，D(X)=2，试求待定系数α，β，r，其中α＜β由离散型随机变量分布律的性质得1=0.4+r+0.1r=0.5    又由数学期望与方差的定义得    E(X)=0=0.4α+0×0.5+0.1β0.4α+0.1β=0β=-4α，    D(X)=2=0.4(α-0)2+0.5×(0-0)2+0.1(β-0)20.4α2+0.1β2=2，解得α=±1，β=4    又α＜β，故α=-1，β=4，r=0.5[小结]随机变量的分布律(或概率密度)的性质、数学期望和方差的定义在确定待定系数的题目中经常用到，要灵活掌握三者之间的相互转化关系． 6. 设f(x)在[a，b]上连续，且对一切不大于正整数N的非负整数n，都有∫abxnf(x)dx=0，试证f(x)在(a，b)内至少有N+1个设f(x)在[a，b]上连续，且对一切不大于正整数N的非负整数n，都有∫abxnf(x)dx=0，试证f(x)在(a，b)内至少有N+1个零点．如果f(x)≡0，则结论显然成立．    如果f(x)≠0，则可以证明，至少存在N+1个点x1，x2，…，xN+1∈(a，b)，x1＜x2＜…＜xN+1，使得f(x)在xk(k=1，2，…，N+1)的左、右邻域内符号相反．事实上，假设这样的点只有m个，m≤N，不妨设x∈(a，x1)时，f(x)≥0，x∈(x1，x2)时，f(x)≤0，依此类推．令p(x)=(x1-x)(x2-x)…(xm-x)，则当x∈(a，b)时，f(x)p(x)≥0，且f(x)p(x)≠0，于是由f(x)p(x)的连续性知    ∫abf(x)p(x)dx＞0    (1)    另一方面，由于p(x)是x的m次多项式，且m≤N，所以由题设条件得    ∫abf(x)p(x)dx=0    但这与(1)式相矛盾，因此至少存在N+1个点x1，x2，…，xN+1属于(a，b)，使得f(x)在xk(k=1，2，…，N+1)的左、右邻域内符号相反．故由f(x)的连续性知f(x0)=0  (k=1，2，…，N+1)．于是f(x)在(a，b)内至少有N+1个零点． 7. 证明函数当x→0时无极限证明函数当x→0时无极限所要求证的结论可由数列当n→∞时趋于零，而f(xn)=(-1)n无极限推知．8. 求半径为R的均匀球面(设面密度为1)对空间一单位质点的引力．求半径为R的均匀球面(设面密度为1)对空间一单位质点的引力．在球面上的任取一点(x，y，z)和含此点的面积微元dS(取定坐标系如图所示，        定点在(0，0，a)处．    则    dF的三个分量为    ，        所求力F={Fx，Fy，Fz}．    则由对称性知    Fx=Fy=0    而    球面参数方程为    x=Rcosθsinψ，y=Rsinθsinψ    z=Rcosψ    所以    dS=R2sinψdθdψ，    故 注意引力是一个向量．向量的叠加不能用模去加，必须用分量去加．        令a2+R2-2aRcosψ=t2    则        所以    此结果表明：当质点在球内，引力为零；当质点在球外，引力如同球面的质量集中于球心时对该点的引力．    注：我们可以在此题基础上，对题给出另一种解法，即求均匀球体对单位质点的引力．不妨只就a＜R的情况来做，我们用x2+y2+z2=r2来分割球体．当Δr→0时，认为球壳r2≤x2+y2+z2≤(r+Δr)2为均匀球面，半径为r．则只考虑r≤a．这个球壳的面密度在数值上为dr(体密度为1)．于是这一层对定点的引力为        所以  (a≤R)    所得结果与题完全一致．读者不难仿此得到当a＞R的情况． 9. 计算曲线y=cosh x上点(0，1)处的曲率.高等数学复旦大学出版第三版上册课后答案习题二计算曲线y=coshx上点(0，1)处的曲率.计算曲线y=cosh x上点(0，1)处的曲率.答案仅供参考，不要直接抄袭哦10. 设u=f(x，y)具有连续偏导数，x=ρcosθ，y=ρsinθ，验证设u=f(x，y)具有连续偏导数，x=ρcosθ，y=ρsinθ，验证  ，，，从而    =(f'x·cosθ+f'y·sinθ)2+(-sinθ·f'x+cosθ·f'y)2    =f'x2cos2θ+f'y2sin2θ+2sinθcosθf'xf'x    +f'x2sin2θ+f'y2cos2θ-2sinθcosθf'xf'y     11. 函数f(x)可导是连续的必要非充分条件。

)函数f(x)可导是连续的必要非充分条件 )正确答案： ×12. 曲线( ) A．只有水平渐近线 B．只有垂直渐近线 C．没有渐近线 D．既有水平渐近线也有垂直渐近线曲线(  )  A．只有水平渐近线  B．只有垂直渐近线  C．没有渐近线  D．既有水平渐近线也有垂直渐近线D13. 对积分上限的函数求导时应注意些什么？对积分上限的函数求导时应注意些什么？(1)首先要弄清是对哪个变量求导，把积分上限的函数的自变量与积分变量区分开来．积分上限的函数的自变量是上限变量，因此对积分上限的函数求导，就是对上限变量求导，与积分变量没有关系．但有时会遇到上限变量也含在被积表达式内的情况，这时应先设法把上限变量从被积表达式内分离出来，并提到积分号外，然后再进行求导，例如上个问题中的，对它求导时，应先把它写作，然后应用乘积的求导公式求导．    (2)当积分上限，甚至积分下限，都是x的函数时，就要应用复合函数的求导法则进行求导．一般说来，有下述结果(证明从略)：    当函数α(x)，β(x)均在[a，b]上可导，函数f(x)在[a，b]上连续时，则有        =β'(x)f[β(x)]-α'(x)f[α(x)]． 14. 设函数，f&39;(x)连续，且f(0)=0．设函数，f'(x)连续，且f(0)=0．A=0时，F(x)在x=0处连续$当x≠0时，，而        又    故F'(x)在x=0处连续． 15. 设，2元实二次型XAX的一个特征值是λi，证明：Rn中存在非零向量α=(α1,α2……αn)，使得αAα=λ(α12,α22……αn设，2元实二次型XAX的一个特征值是λi，证明：Rn中存在非零向量α=(α1,α2……αn)，使得αAα=λ(α12,α22……αn2)正确答案：因为λi是A的一个特征值设α为对应于λ的特征向量且α=(α1α2……αn)则Aα=λiα从而f(α1α2……αn)一αTAα=αTλiα=λαTα=λi(α12α22……αn2)．因为λi是A的一个特征值,设α为对应于λ的特征向量,且α=(α1,α2……αn),则Aα=λiα从而f(α1,α2……αn)一αTAα=αTλiα=λαTα=λi(α12,α22……αn2)．16. 什么是刚性方程组?为什么刚性微分方程数值求解非常困难?什么数值方法适合求刚性方程?什么是刚性方程组?为什么刚性微分方程数值求解非常困难?什么数值方法适合求刚性方程?在求解微分方程组时，经常出现解的分量数量级差别很大的情形，这给数值求解带来很大困难，这种问题称为刚性问题．    求刚性方程数值解时，若用步长受限制的方法就将出现小步化计算大区间的问题，因此最好使用对步长h不加限制的方法．    如欧拉后退法及梯形法，即A-稳定的方法，    通常求解刚性方程的高阶线性多步法是吉尔方法还有隐式龙格-库塔法． 17. 人类的血型可粗分成O，A，B，AB等四型，设已知某地区人群中这四种血型人数的百分比依次为0.4，0.3，0.25，0.05．要人类的血型可粗分成O，A，B，AB等四型，设已知某地区人群中这四种血型人数的百分比依次为0.4，0.3，0.25，0.05．要从该地区任意选出10人，考察血型为AB型的人数，试用n重伯努利试验描述之．由于这里只关心AB型血的人数，其他血型可不予区分，故在此时每个人的血型只有两个可能结果：AB型或非AB型．这样，p=0.05是任取一人，其血型为AB型的概率．从而问题可以说成是成功率为p=0.05的10重伯努利试验，即ξ～B(10，0.05)．18. 求下列函数的，，(其中f具有二阶连续偏导数)：求下列函数的，，(其中f具有二阶连续偏导数)：z'x=f'1·y+f'2·0=yf'1，z"xx=yf"11·y+0=y2f"11，    z"xy=f'1+y(f"11·x+f"12·1)=xyf"11+yf"12+f'1，    z'y=f'1·x+f'2·1=xf'1+f'2，    z"yy=x(f"11·x+f"12·1)+f"21·x+f"22=x2f"11+2xf"11+2xf"12+f"22．$，                            $z'x=f'1·y2+f'2·2xy=y2f'1+2xyf'2，    z"xx=y2(f"11·y2+f"12·2xy)+2yf'2+2xy(f"21y2+f"22·2xy)    =y4f"11+4xy3f"12+4y2f"22+2yf'2，    z"xy=2yf'1+y2(f"11·2xy+f"12·x2)+2xf'2+2xy(f"21·2xy+f"22·x2)    =2xy3f"11+5x2y2f"12+2x3yf"22+2yf'1+2xf'2，    z'y=2xyf'1+x2f'2，    z"yy=2xf'1+2xy(f"11·2xy+f"12·x2)+x2(f"21·2xy+f"22·x2)    =4x2y2f"11+4x3yf"12+x4f"22+2xf'1．$z'x=cosx·f'1+ex+yf'3，  。