第四部分直梁的弯曲.ppt

LOGO第四章 直梁的弯曲化工设备机械基础弯曲应力弯曲应力§4-4 §4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力1、弯曲构件横截面上的（内力）应力、弯曲构件横截面上的（内力）应力内力剪力Q 剪应力 弯矩M 正应力 9/1/20242青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院平面弯曲时横截面s 纯弯曲梁(横截面上只有M而无Q的情况)平面弯曲时横截面t 剪切弯曲(横截面上既有Q又有M的情况)2、研究方法、研究方法纵向对称面纵向对称面P1P2例如：§4-4 §4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力9/1/20243青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院 某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲如AB段15006418021PPaaABQMxx纯弯曲纯弯曲(Pure Bending):§4-4 §4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力9/1/20244青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院1.梁的纯弯曲实验 横向线(a b、c d）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。

一）变形几何规律：　　　　　　　　（一）变形几何规律：　　　　　　　　一、 纯弯曲时梁横截面上的正应力bdacabcdMM§4-4 §4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力9/1/20245青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院2. .两个概念两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层中性轴：中性层与横截面的交线中性层中性层纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴§4-4 §4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力9/1/20246青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院§4-4 §4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力9/1/20247青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院 根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入根据变形的连续性可知，梁弯曲时从其凹入一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长一侧的纵向线缩短区到其凸出一侧的纵向线伸长区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层，称区，中间必有一层纵向无长度改变的过渡层，称为为中性层中性层 。

中性层中性层中性轴中性轴中性层与横截面的交线就是中性层与横截面的交线就是中性轴中性轴中性层中性层中性轴中性轴Me Me §4-4 §4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力9/1/20248青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院3.3.假设：假设：1 1、平面假设：、平面假设：横截面变形后保持为平面，只是绕截面内某一轴线偏转了一个角度, ,距中性轴等高处，变形相等2 2、互不挤压假设：、互不挤压假设：所有纵向纤维只受到轴向拉伸或压缩，相互之间没有挤压即横截面上只有正应力§4-4 §4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力9/1/20249青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院推论：推论：1 1、、纯弯曲时梁的变形本质上是拉伸或压缩变形，而非剪切纯弯曲时梁的变形本质上是拉伸或压缩变形，而非剪切变形，梁横截面宽度的改变是纵向纤维的横向变形引起的；变形，梁横截面宽度的改变是纵向纤维的横向变形引起的；2 2、横截面上只有正应力，而无剪应力；凹侧纤维缩短，凸、横截面上只有正应力，而无剪应力；凹侧纤维缩短，凸侧纤维伸长。

因此凹侧受压缩，存在压缩应力；凸侧受拉侧纤维伸长因此凹侧受压缩，存在压缩应力；凸侧受拉伸，存在拉伸应力；伸，存在拉伸应力；3 3、梁内既没有伸长也没有缩短的纤维层，叫做中性层，中、梁内既没有伸长也没有缩短的纤维层，叫做中性层，中性层与横截面的交线叫中性轴，中性层将梁分成受压和受性层与横截面的交线叫中性轴，中性层将梁分成受压和受拉区，即中性层一侧作用拉伸应力，另一侧作用压缩应力，拉区，即中性层一侧作用拉伸应力，另一侧作用压缩应力，中性层上正应力为零，梁横截面的偏转就是绕其中性层上正应力为零，梁横截面的偏转就是绕其中性轴中性轴旋旋转的§4-4 §4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力9/1/202410青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院梁在纯弯曲时平面假设，横截面仍保持为平面，梁在纯弯曲时平面假设，横截面仍保持为平面，且与梁变形后的轴线仍保持正交，只是绕垂直且与梁变形后的轴线仍保持正交，只是绕垂直于纵对称轴的某一轴转动于纵对称轴的某一轴转动即即中性轴中性轴平面假设：平面假设：mabmanbnMe Me mmnnaabb§4-4 §4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力9/1/202411青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院r ——中性层的曲率半径中性层的曲率半径CABryO1O2B1dq}dxMe Me mmnnaabb§4-4 §4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力9/1/202412青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院A1B1O1O4. 4. 几何方程：几何方程： abcdABdq qr rxyOO1§4-4 §4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力9/1/202413青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院由虎克定律（二）物理关系：（二）物理关系：　　　　　　　　　　　　　　　　由于纵向纤维互不挤压。

于是，任意一点均处于单项应力状态 x x 纯弯曲时梁横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比，距中性轴同一高度上各点的正应力相等§4-4 §4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力9/1/202414青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院（三）静力学关系：（三）静力学关系：　　　　　　　　　　　　　　　　§4-4 §4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力9/1/202415青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院… …(3)这是纯弯梁变形时中性层曲率的表达式这是纯弯梁变形时中性层曲率的表达式EIz称为称为梁的梁的抗弯刚度抗弯刚度§4-4 §4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力9/1/202416青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院弯曲正应力计算公式弯曲正应力计算公式§4-4 §4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力9/1/202417青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院 中性轴中性轴 z 为横截面的对称轴时为横截面的对称轴时称为称为抗弯曲截面模量抗弯曲截面模量yzzybh§4-4 §4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力9/1/202418青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院中性轴中性轴 z 不是横截面的对称轴时不是横截面的对称轴时Ozyyt，maxyc，max§4-4 §4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力9/1/202419青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院（四）最大正应力：　（四）最大正应力：　… …(5)§4-4 §4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力9/1/202420青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院简单截面的简单截面的轴惯性矩和抗弯截面模量轴惯性矩和抗弯截面模量⑴⑴ 矩形截面矩形截面⑵⑵ 圆形截面圆形截面zybhyzd§4-4 §4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力9/1/202421青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院⑶⑶ 空心圆截面空心圆截面(4) 型钢截面：参见型钢表型钢截面：参见型钢表式中式中DOdyz§4-4 §4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力9/1/202422青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院纯弯曲理论的推广纯弯曲理论的推广横力弯曲时：横力弯曲时：1、由于切应力的存在梁的横截面发生翘曲、由于切应力的存在梁的横截面发生翘曲；；2、横向力还使各纵向线之间发生挤压、横向力还使各纵向线之间发生挤压。

平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都平面假设和纵向线之间无挤压的假设实际上都不再成立不再成立§4-4 §4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力9/1/202423青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院弹性力学的分析结果：弹性力学的分析结果：对于对于细长梁细长梁（（ l/h > 5 ），），纯弯曲时的正应力计算纯弯曲时的正应力计算公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确公式用于横力弯曲情况，其结果仍足够精确lF§4-4 §4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力9/1/202424青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院例例1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）1——1截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲率半径Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120180zy解：解：画画M图求截面弯矩图求截面弯矩30§4-4 §4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力9/1/202425青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120zy求应力求应力18030§4-4 §4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力9/1/202426青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院求曲率半径求曲率半径Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax1212018030§4-4 §4-4 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力9/1/202427青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院§4§4－－－－5 5 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力一、一、 矩形截面矩形截面梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力1 1、两点假设：、两点假设： 剪应力与剪力平行；剪应力与剪力平行；矩中性轴等距离处，剪应力矩中性轴等距离处，剪应力 相等。

相等dxxQ 方向：与横截面上剪力方向相同； 大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线最大剪应力为平均剪应力的1.5倍9/1/202428青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院2 2、几种常见截面的最大弯曲剪应力、几种常见截面的最大弯曲剪应力 ①①工字钢截面：工字钢截面：;» »maxA Q f结论：结论： 翼缘部分tmax«腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax 铅垂剪应力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈ tmin 故工字钢最大剪应力Af —腹板的面积» »maxA Q f§4§4－－－－5 5 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力9/1/202429青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院 ②②圆截面：③③ 薄壁圆环：④④槽钢：exyzPQeQehQRRzzbIQS»*=，合力为腹板上; t§4§4－－－－5 5 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力9/1/202430青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院§4-6 §4-6 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件 • • 梁的合理截面梁的合理截面梁的合理截面梁的合理截面1、危险面与危险点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；   M一、梁的正应力强度条件一、梁的正应力强度条件2、正应力强度条件：9/1/202431青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院3 3、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：、校核强度：Œ 校核强度：：设计截面尺寸：ŽŽ设计载荷：4 4、需要校核剪应力的几种特殊情况：、需要校核剪应力的几种特殊情况：梁的跨度较短，M 较小，而Q较大时，要校核剪应力。

铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力§4-6 §4-6 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件 • • 梁的合理截面梁的合理截面梁的合理截面梁的合理截面9/1/202432青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院解：解：画内力图求危面内力画内力图求危面内力例2 矩形矩形(b h=0.12m 0.18m））截面木截面木梁如图，梁如图，[ ]=7MPa，，[ ]=0. 9 M Pa，，试试求最大求最大正应力和最大剪应力之比正应力和最大剪应力之比,并校核并校核梁的强度梁的强度q=3.6kN/mxM+ABL=3mQ–+x§4-6 §4-6 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件 • • 梁的合理截面梁的合理截面梁的合理截面梁的合理截面9/1/202433青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院求最大应力并校核强度求最大应力并校核强度应力之比应力之比q=3.6kN/mxM+Q–+x§4-6 §4-6 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件 • • 梁的合理截面梁的合理截面梁的合理截面梁的合理截面9/1/202434青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院y1y2GA1A2A3A4解：解：画弯矩图并求危面内力画弯矩图并求危面内力例3 T 字形截面的铸铁梁受力如图，铸字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的铁的[ L]=30MPa，，[ y]=60 MPa，，其截其截面形心位于面形心位于G点，点，y1=52mm，， y2=88mm，，Iz=763cm4 ，，试校核此梁试校核此梁的强度。

并说明的强度并说明T字梁怎样放置更合理字梁怎样放置更合理？？画危面应力分布图，找危险点画危面应力分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM§4-6 §4-6 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件 • • 梁的合理截面梁的合理截面梁的合理截面梁的合理截面9/1/202435青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院校核强度校核强度T T字头在上面合理字头在上面合理y1y2GA1A2A3A4x2.5kNm-4kNmMy1y2GA3A4§4-6 §4-6 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件 • • 梁的合理截面梁的合理截面梁的合理截面梁的合理截面9/1/202436青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁拉、压强度不相等的铸铁等脆性材料制成的梁Ozyyt，maxyc，max为充分发挥材料的强度，最合理的设计为为充分发挥材料的强度，最合理的设计为§4-6 §4-6 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件 • • 梁的合理截面梁的合理截面梁的合理截面梁的合理截面9/1/202437青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院§4-7 梁的合理设计梁的合理设计一、合理配置梁的荷载和支座一、合理配置梁的荷载和支座控制强度条件：控制强度条件：M↓Wz↑9/1/202438青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院§4-7 梁的合理设计梁的合理设计9/1/202439青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院二、合理选取截面形状二、合理选取截面形状1、、 尽可能使横截面面积分布在距中性轴较远处，尽可能使横截面面积分布在距中性轴较远处，以使弯曲截面系数与面积比值以使弯曲截面系数与面积比值W/A增大。

增大yzzybhz§4-7 梁的合理设计梁的合理设计9/1/202440青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院2、、 对于由拉伸和压缩强度相等的材料对于由拉伸和压缩强度相等的材料 制成的制成的梁，其横截面应以中性轴为对称轴梁，其横截面应以中性轴为对称轴yzzybhz§4-7 梁的合理设计梁的合理设计9/1/202441青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院3、对于拉、压强度不等的材料制成的梁，应采用、对于拉、压强度不等的材料制成的梁，应采用对中性轴不对称的截面，以尽量使梁的最大工作对中性轴不对称的截面，以尽量使梁的最大工作拉、压应力分别达到拉、压应力分别达到(或接近或接近)材料的许用拉应力材料的许用拉应力[  t ] 和许用压应力和许用压应力[  c ] Ozyy1y2§4-7 梁的合理设计梁的合理设计9/1/202442青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院（一）矩形木梁的合理高宽比（一）矩形木梁的合理高宽比R北宋李诫于1100年著«营造法式 »一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 1.5英(T.Young)于1807年著«自然哲学与机械技术讲义 »一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 为bh§4-7 梁的合理设计梁的合理设计9/1/202443青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院强度：正应力：1 1、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面、在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面其它材料与其它截面形状梁的合理截面zD1zaa§4-7 梁的合理设计梁的合理设计9/1/202444青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院zD0.8Da12a1z§4-7 梁的合理设计梁的合理设计9/1/202445青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院工字形截面与框形截面类似。

0.8a2a21.6a22a2z§4-7 梁的合理设计梁的合理设计9/1/202446青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院三、合理设计梁的外形三、合理设计梁的外形考虑各截面弯矩变化可将考虑各截面弯矩变化可将梁梁局部加强或设计为变截局部加强或设计为变截面梁F1F2 50kN 40 kN 60kNCABFB1.5 m1.5 mFA1.5 m 1.5 mzy9.51001032010§4-7 梁的合理设计梁的合理设计9/1/202447青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院 若梁的各横截面上的最大正应力都达到材料的若梁的各横截面上的最大正应力都达到材料的许用应力，则称为许用应力，则称为等强度梁等强度梁（（鱼腹梁鱼腹梁）a) l2Fh(x)b(b)Fl2§4-7 梁的合理设计梁的合理设计9/1/202448青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院 对于铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受拉，则令中性轴靠近上端如下图：2 2、根据材料特性选择截面形状、根据材料特性选择截面形状 Gz§4-7 梁的合理设计梁的合理设计9/1/202449青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院（二）采用变截面梁（二）采用变截面梁 ，如下图：，如下图：最好是等强度梁，即若为等强度矩形截面，则高为同时Px§4-7 梁的合理设计梁的合理设计9/1/202450青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院 s s§4-8 §4-8 考虑材料塑性时的极限弯矩考虑材料塑性时的极限弯矩考虑材料塑性时的极限弯矩考虑材料塑性时的极限弯矩全面屈服后,平面假设不再成立; e e s s理想弹塑性材料的理想弹塑性材料的 - -e e 图图 s s弹性极限弹性极限分布图分布图塑性极限塑性极限分布图分布图9/1/202451青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院例例4 试求矩形截面梁的弹性极限弯矩M max与塑性极限弯矩 Mjx之比。

解：§4-8 §4-8 考虑材料塑性时的极限弯矩考虑材料塑性时的极限弯矩考虑材料塑性时的极限弯矩考虑材料塑性时的极限弯矩9/1/202452青岛科技大学青岛科技大学 机电工程学院机电工程学院LOGO。