导数讲义(理).doc

导数专项一、导数的基本概念1.平均变化率和瞬时变化率（1）平均变化率：函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x+）－f（x），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的平均变化率，即=（2）瞬时变化率：当时，此时的就叫做瞬时变化率2.导数的定义如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作f′(x)或y′|即f′（x）==阐明：（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数2）是自变量x在x处的变化量，时，而是函数值的变化量，可以是零由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的环节：① 求函数的增量=f（x+）－f（x）② 求平均变化率=③ 取极限，得导数f’(x)=【典例精讲】：例1. 设函数f（x）在x=x0处可导,则与x0,h的关系是 例2. 已知,则当时, 例3. 已知,则. 3. 导数的几何意义 几何意义：曲线在点处的导数等于点（）处的切线的斜率K因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为例1. 如果曲线的某一切线与直线平行，求切点坐标与切线方程．分析：本题重在理解导数的几何意义：曲线在给定点处的切线的斜率，用导数的几何意义求曲线的斜率就很简朴了。

例2. 若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为 例3. 已知函数f（x）在x=1处的导数为3,则f（x）的解析式也许为 1）f（x）=（x－1）2+3（x－1） （2）f（x）=2（x－1）（3）f（x）=2（x－1）2 （4）f（x）=x－1例4.在函数的图象上，其切线的倾斜角不不小于的点中，坐标为整数的点的个数是 ( ) A．3 B．2 C．1 D．0例5. 已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且 （Ⅰ）求直线的方程；（Ⅱ）求由直线，和轴所围成的三角形的面积 4.导数的运算1． 基本函数的导数公式: ①（C为常数） ②③; ④;⑤ ⑥; ⑦; ⑧2． 导数的运算法则 若的导数都存在，则 ： ① ② 为常数）； ③ ④ 【典例精讲】：1. 求下列函数的导数(1)y=(2x2-1)(3x+1) (2) (3) (4) (5) (6) 2. 下列函数的导数：① ② ③3. 已知, 则 。

4.设f0(x) ＝ sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x) ＝ fn′(x)，n∈N，则f(x)＝ ( )A．　 B． C． D．－ 5.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是 ( )A． (-3,0)∪(3,+∞) B． (-3,0)∪(0, 3) C． (-∞,- 3)∪(3,+∞) D． (-∞,- 3)∪(0, 3)3. 复合函数的导数形如y=f的函数称为复合函数复合函数求导环节：分解——>求导——>回代法则：y＇|= y＇| ·u＇|或者.例1.求下列函数的导数：(1), （2）例2.求下列函数的导数：（1） （2）例3.求下列函数的导数：（1） （2） 例4.求下列函数的导数：（1） , （2）二、定积分的基本原理1.定积分的概念设函数f(x)在区间[a，b]上持续，用分点a＝x0

这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式2.定积分的性质①（k为常数）；②；③（其中a＜c＜b3.定积分的几何意义 当时，表达由x轴，直线x=a,x=b及曲线所围成的曲边梯形的面积4常用的积分公式＝C；＝＋C（m∈Q， m≠－1）；dx＝ln＋C；＝＋C；＝＋C；＝sinx＋C；＝－cosx＋C（表中C均为常数）例1：把长为的铁丝围成矩形，要使矩形的面积最大，则长为 ，宽为 例2：已知函数的图象是折线段，其中、、，函数（）的图象与轴围成的图形的面积为 例3：曲线在点（0,2）处的切线与直线和围成的三角形的面积为(A) (B) (C) (D)1三、导数的应用（1）设函数在某个区间（a，b）可导，如果，则在此区间上为增函数；如果，则在此区间上为减函数2）如果在某区间内恒有，则为常数1.函数单调性（1） 简朴函数单调性例1. 已知函数的图象如图所示（其中 是函数的导函数），下面四个图象中的图象大体是 ( )例2.设恰有三个单调区间，试拟定a的取值范畴，并求其单调区间。

例3. 已知函数的图象过点P（0,2）,且在点M处的切线方程为. （Ⅰ）求函数的解析式； （Ⅱ）求函数的单调区间.（2） 具有参数的函数单调性例1：已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为．（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式； （Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间． （3） 定区间上函数单调性例1：设函数．（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若对恒成立，求实数的取值范畴．例2：设函数,若当时，获得极值，求的值，并讨论的单调性.2.极值与最值在区间[a，b]上持续的函数f在[a，b]上必有最大值与最小值但在开区间（a，b）内持续函数f（x）不一定有最大值，例如1）函数的最大值和最小值是一种整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的函数的极值可以有多有少，但最值只有一种，极值只能在区间内获得，最值则可以在端点获得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值也许成为最值，最值只要不在端点处必然是极值1） 简朴的求极值最值例1：函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是？例2：设函数，，求函数的单调区间与极值。

例3：已知函数其中 (1)当时，求曲线处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2)当时，求函数的单调区间与极值2） 恒成立与能成立问题例1：设函数．（Ⅰ）证明：当时，；（Ⅱ）设当时，，求a的取值范畴．例2：已知函数(a∈R).（Ⅰ）当时，求的极值；（Ⅱ）当时，求单调区间；（Ⅲ）若对任意及，恒有成立，求实数m的取值范畴.（3） 交点个数的问题例1：已知是函数的一种极值点Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范畴例2：已知函数的图象如图所示．（I）求的值；（II）若函数在处的切线方程为，求函数的解析式；（III）在（II）的条件下，函数与的图象有三个不同的交点，求的取值范畴．参照答案导数的定义：1、 仅与x0有关而与h无关2、3、导数的几何意义：1、解：切线与直线平行， 斜率为4又切线在点的斜率为∵ ∴∴ 或∴切点为（1，-8）或（-1，-12）切线方程为或即或2、3、（1）4、A5、解： 设直线的斜率为，直线的斜率为， ，由题意得,得直线的方程为 ,与该曲线的切点坐标为由直线方程的点斜式得直线的方程为： （Ⅱ）由直线的方程为,令由直线的方程为，令由得： 设由直线，和轴所围成的三角形的面积为S，则： 导数的运算：1、解：（１）, (2); (3), (4);(5), (6).2、分析：运用导数的四则运算求导数。

解：①法一： ∴ 法二：=+ ② ∴ ③e－x（cosx+sinx）+e－x（－sinx+cosx）2e－xcosx,3、04、C5、D复合函数的导数：1、答案 解：(1)令,（2）令 2、答案 解：（1） （2）令3、答案 解：（1） （2）4、答案 解：（1） 解法1： 解法2： 定积分的基本原理：1、15cm 15cm2、【解析】当，线段的方程为，当时线段方程为，整顿得，即函数，因此，函数与轴围成的图形面积为3、A函数的单调性1、故选C [解析]：由函数的图象可知：当时， <0，>0，此时增当时。