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第七节 方向导数与梯度一、方向导数的定义三、梯度的概念四、 小结 二、方向导数与连续、偏导数 、可微之间的关系一、方向导数的定义当 沿着 趋于 时，如果（一）方向导数的定义记为推论：如果函数 在点 对 和的（二）方向导数与可为微、可导、连续之间的关系其中 为 轴到方向L的转角． 证明由于函数可微，则函数值增量可表示为两边同除以得到故有方向导数此定理不仅告诉了我们一个函数在某点 可微，则该函数在此点沿任意方向的方 向导数都存在，而且还告诉了我们求方 向导数的方法解1、方向导数与偏导数的关系点沿任意方向的方向导数都存在，但推不出偏导数存在反之，偏导数存在也推不出沿任意方向的 方向导数存在方向导数是单侧极限，而偏导数是双侧极限例 在(0,0)点任意方向的方向导数都存在,但在(0,0)点偏导数不存在，且不可微证明从而在(0,0)点偏导数不存在，且不可微而例在(0,0)点偏导数存在,但沿的方向导数 不存在 证明所以在(0,0)点沿 的方向导数不存在在(0,0)点偏导数存在易知函数在某点连续推不出方向导数存在，反之亦然2、函数连续与方向导数存在的关系例在(0,0)点连续但方向导数不存在。

证明可知在(0,0)点连续由不存在可知在(0,0)点方向导数不存在例函数在（0，0）点沿任意方向的方向导数都存 在，但不连续证明可知不连续可微方向导数 （任意方向）连续偏导数综上可得下图： 方向导数与可微、可导、连续之间的关系解由方向导数的计算公式知故方向导数的概念可以推广到空间二、梯度的概念（一）定义结论在几何上 表示一个曲面曲面被平面 所截得曲线L在xoy面上投影曲线为：称为等高线等高线的画法等高线上任意一点处法线的斜率为梯度的概念可以推广到三元函数解由梯度计算公式得故1、方向导数的概念2、梯度的概念3、方向导数与梯度的关系（注意方向导数与一般所说偏导数的区别 ） （注意梯度是一个向量）三、小结思考题思考题解答练 习 题练习题答案解 令故方向余弦为故。