“金太阳”江苏省2010年百校大联考数学试题.doc

金太阳”江苏省2010年百校大联考数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应的位置上. 1. 若，则集合的元素个数为 ▲ ．2. 已知命题：“，使x2+2x+a≥0”为真命题，则a的取值范围是 ▲ ．3. 复数z=,则|z|= ▲ ．4. 若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB－sinA，sinB－cosA）在第 ▲ 象限.5. 已知函数在区间[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是 ▲ ．6. 等比数列的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则的公比为 ▲ ．7. 按右图所示的程序框图运算，若输入，则输出= ▲ ．8. 已知函数的取值范围为 ▲ ．9. 在DABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，则C的大小应为 ▲ ．10. 关于直线m，n与平面，有以下四个命题：①若，则②若；③若④若；其中真命题的序号是 ▲ ．11. 若，则椭圆的离心率是 ▲ ．12. 设、满足约束条件若目标函数为，则的最大值为 ▲ ．13. 已知向量，设M是直线OP上任意一点（O为坐标原点），则的最小值为 ▲ ．14. 在实数数列中，已知则的最大值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤,并请将答案写在答题纸相应的位置上.15. （本小题满分14分）已知函数是的导函数。

Ⅰ）求函数的最大值和最小正周期；（Ⅱ）若的值16. （本小题满分14分）已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，分别为的中点，（1）求证：//平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥E-ABF的体积17. （本小题满分14分） 已知数列是一个公差大于0的等差数列，且满足 （1）求数列的通项公式； （2）数列和数列满足等式，求数列 的前n项和Sn18. （本小题满分16分）某水库堤坝因年久失修,发生了渗水现象,当发现时已有200m2的坝面渗水.经测算知渗水现象正在以每天4m2的速度扩散.当地政府积极组织工人进行抢修.已知每个工人平均每天可抢修渗水面积2m2,每人每天所消耗的维修材料费75元,劳务费50元,给每人发放50元的服装补贴,每渗水1m2的损失为250元.现在共派去x名工人,抢修完成共用n天.（Ⅰ）写出n关于x的函数关系式;（Ⅱ）要使总损失最小,应派去多少名工人去抢修(总损失＝渗水损失＋政府支出).19. （本小题满分16分）已知圆：交轴于两点，曲线是以为长轴，直线：为准线的椭圆．（1）求椭圆的标准方程；（2）若是直线上的任意一点，以为直径的圆与圆相交于两点，求证：直线必过定点，并求出点的坐标；（3）如图所示，若直线与椭圆交于两点，且，试求此时弦的长．20. （本小题满分16分）已知函数（a＞0，且a≠1），其中为常数．如果 是增函数，且存在零点（为的导函数）．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1

………4分（Ⅱ）设，则圆方程为 与圆联立消去得的方程为， 过定点 ……………10分 （Ⅲ）解法一：设，则,………① ，，即： 代入①解得：（舍去正值）， ，所以，从而圆心到直线的距离，从而 ………16分解法二：过点分别作直线的垂线，垂足分别为，设的倾斜角为，则：，从而， 由得：，，故，由此直线的方程为，以下同解法一 解法三：将与椭圆方程联立成方程组消去得：,设，则所以代入韦达定理得：， 消去得：，，由图得：， 所以，以下同解法一 20.（Ⅰ）因为，所以．…………………………3分因为h（x）在区间上是增函数，所以在区间上恒成立．若01．由恒成立，又存在正零点，故△＝（－2lna）2－4lna＝0，所以lna＝1，即a＝e． ………………………………………7分（Ⅱ）由（Ⅰ），，于是，．…………9分以下证明． （※）（※）等价于． ………………………11分令r（x）＝xlnx2－xlnx－x2＋x，……………………………13分r ′（x）＝lnx2－lnx，在（0，x2］上，r′（x）>0，所以r（x）在（0，x2］上为增函数．当x1