《数学分析》6具有某些特性的函数.doc

《数学分析》教案授课章节：具有某些特性的函数教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语.教学目的：深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇偶函数、周期函数的定义；会求一些简单周期函数的周期教学重点：函数的有界性、单调性教学难点：周期函数周期的计算、验证教学方法：有界函数讲授，其余的列出自学题纲，供学生自学完成教学程序：u 引言在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如有界函数、单调函数、奇偶函数与周期函数其中，有些概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地提一下与“有界集”的定义类似，先谈谈有上界函数和有下界函数一、 有界函数１． 有上界函数、有下界函数的定义定义１ 设为定义在Ｄ上的函数，若存在数，使得对每一个有，则称为Ｄ上的有上（下）界函数，称为在Ｄ上的一个上（下）界注：（１）在Ｄ上有上（下）界，意味着值域是一个有上（下）界的数集；（２）又若为在Ｄ上的一个上（下） 界，则任何大于Ｍ（小于Ｌ）的数也是在Ｄ上的上（下）界所以，函数的上（下）界若存在，则不是唯一的，例如：，１是其一个上界，下界为－１，则易见任何小于－１的数都可作为其下界；任何大于１的数都可作为其上界；（3）任给一个函数，不一定有上（下）界；（4）由（１）及“有界集”定义，可类比给出“有界函数”定义：在Ｄ上有界是一个有界集在Ｄ上既有上界又有下界在Ｄ上的有上界函数，也为Ｄ上的有下界函数。

2．有界函数定义定义２ 设为定义在Ｄ上的函数若存在正数Ｍ，使得对每一个有，则称为Ｄ上的有界函数注：（１）几何意义：为Ｄ上的有界函数，则的图象完全落在和之间；（２）在Ｄ上有界在Ｄ上既有上界又有下界；例子：；（3）关于函数在Ｄ上无上界、无下界或无界的定义3．例题例１．证明　为上的无上界函数例２．设为Ｄ上的有界函数证明：（１）；（２）.二、 单调函数 定义３ 设为定义在Ｄ上的函数， （１）若，则称为Ｄ上的增函数；若，则称为Ｄ上的严格增函数２）若，则称为Ｄ上的减函数；若，则称为Ｄ上的严格减函数例３．证明：在上是严格增函数例４．讨论函数在Ｒ上的单调性例５．讨论函数在Ｒ上的单调性注：１）单调性与所讨论的区间有关在定义域的某些部分，可能单调，也可能不单调所以要会求出给定函数的单调区间；２）严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于轴的部分更准确地讲：严格单调函数的图象与任一平行于轴的直线至多有一个交点这一特征保证了它必有反函数总结得下面的结论：定理１．设为严格增（减）函数，则必有反函数，且在其定义域上也是严格增（减）函数例　讨论函数在上反函数的存在性；如果在上不存在反函数，在的子区间上存在反函数否？结论：函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关。

例　证明：当时在Ｒ上严格增，当时在Ｒ上严格递减三、 奇函数和偶函数定义４. 设Ｄ为对称于原点的数集，为定义在Ｄ上的函数若对每一个有（１），则称为Ｄ上的奇函数；（２），则称为Ｄ上的偶函数注：（１）从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心对称），偶函数的图象关于轴对称；（２）奇偶性的前提是定义域对称，因此没有必要讨论奇偶性３）从奇偶性角度对函数分类：；（４）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点的左边或右边即可四、 周期函数１． 定义设为定义在数集Ｄ上的函数，若存在，使得对一切有，则称为周期函数，称为的一个周期２． 几点说明：（1）若是的周期，则也是的周期，所以周期若存在，则不唯一因此有如下“基本周期”的说法，即若在周期函数的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为的“基本周期”，简称“周期”如，周期为；（2）任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如：１），不是周期函数；２）（Ｃ为常数），任何正数都是它的周期。